Calcule o rotacional do campo vetorial F: U subset R^3 R^3
F(x, y, z)=(y+x^2+6 z^2, e^x+y, z+x+y)

Passo 1

O enunciado pede o rotacional do campo
vec F(x,y,z) = l(F1,F2,F3r) = l(y + x^2 + 6z^2,;e^x+y,;z + x + yr).
Este é um problema de cálculo vetorial em R^3. Para resolver, vamos usar a definição
nabla times vec F = partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial y

Passo 2

Calcular o primeiro componente
(nabla times vec F)1 = partial F3partial y - partial F2partial z
Temos F3(z,x,y)=z+x+y e F2(x,y,z)=e^x+y, logo
partial F3partial y = 1, partial F2partial z = 0
Assim
(nabla times vec F)1 = 1 - 0 = 1

Passo 3

Calcular o segundo componente
(nabla times vec F)2 = partial F1partial z - partial F3partial x
Como F1=y + x^2 + 6z^2 e F3=z + x + y, temos
partial F1partial z = 12z, partial F3partial x = 1
Logo
(nabla times vec F)2 = 12z - 1

Passo 4

Calcular o terceiro componente
(nabla times vec F)3 = partial F2partial x - partial F1partial y
De F2=e^x+y e F1=y + x^2 + 6z^2 segue
partial F2partial x = e^x+y, partial F1partial y = 1
Portanto
(nabla times vec F)3 = e^x+y - 1

Resposta

O rotacional é
nabla times vec F = l(1,;12z - 1,;e^x+y - 1r)

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