Calcule a integral efectuando uma mudança de variáveis apropriada integral duplaR e^(x-y) d A, R é o triângulo de vértices (0,0),(1,3) e (2,2) (compare esta resolução com a do Exercício 1 © da Lista 1) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . O domínio é um triângulo com vértices em , e . A matéria que vamos usar é a integração por mudança de variável, que ajuda a simplificar cálculos complicados. Para isso, a gente vai precisar definir novas variáveis que facilitem a integral e calcular o Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma mudança de variável que simplifique a expressão u = x - y . Vamos definir:
v = x + y
Essas novas variáveis combinam e de forma que a expressão no expoente fique mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, precisamos expressar x = u + v2 e y = v - u2 em termos de e . Resolvendo as equações:
Isso nos permite mudar as variáveis na integral.

Passo 4

Em seguida, calculamos o Jacobiano da transformação, que é uma matriz das derivadas parciais de J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 -12 & 12 e det(J) = (12 times 12) - (12 times -12) = 14 + 14 = 12 em relação a e :
O determinante do Jacobiano é:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos determinar os novos limites de integração no plano u = 0 - 0 = 0 . Precisamos transformar os vértices do triângulo v = 0 + 0 = 0 :
  • Para u = 1 - 3 = -2 :
    v = 1 + 3 = 4
    u = 2 - 2 = 0
  • Para v = 2 + 2 = 4 :
  • Para :
Então, o triângulo no plano tem vértices em , e .

Passo 6

Vamos definir os limites de integração. Para variando de 0 a 4, e para cada , varia de a 0.

Passo 7

Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaR e^(x-y) dA = integral0^4 integral-v2^0 e^u times |12| du , dv e = 12 integral0^4 ( integral-v2^0 e^u du ) dv :
Simplificando:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em integral-v2^0 e^u du = e^u g|-v2^0 = e^0 - e^-v2 = 1 - e^-v2 :
12 integral0^4 (1 - e^-v2) dv
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral em 12 [ integral0^4 1 , dv - integral0^4 e^-v2 dv ] :
integral0^4 1 , dv = 4
Calculando cada parte:
integral0^4 e^-v2 dv = -2 e^-v2 g|0^4 = -2 (e^-2 - 1) = 2 (1 - e^-2)
12 (4 - 2 (1 - e^-2)) = 12 (4 - 2 + 2 e^-2) = 12 (2 + 2 e^-2) = 1 + e^-2
Então:

Resposta

1 + e^-2

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