Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . O domínio é um triângulo com vértices em , e . A matéria que vamos usar é a integração por mudança de variável, que ajuda a simplificar cálculos complicados. Para isso, a gente vai precisar definir novas variáveis que facilitem a integral e calcular o Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma mudança de variável que simplifique a expressão . Vamos definir:
Essas novas variáveis combinam e de forma que a expressão no expoente fique mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Isso nos permite mudar as variáveis na integral.
Passo 4
Em seguida, calculamos o Jacobiano da transformação, que é uma matriz das derivadas parciais de e em relação a e :
O determinante do Jacobiano é:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração no plano . Precisamos transformar os vértices do triângulo :
Para :
Para :
Para :
Então, o triângulo no plano tem vértices em , e .
Passo 6
Vamos definir os limites de integração. Para variando de 0 a 4, e para cada , varia de a 0.
Passo 7
Agora, reescrevemos a integral original em termos de e :
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em integral-v2^0 e^u du = e^u g|-v2^0 = e^0 - e^-v2 = 1 - e^-v2 :
12 integral0^4 (1 - e^-v2) dv
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral em 12 [ integral0^4 1 , dv - integral0^4 e^-v2 dv ] :