Calcule a área da região limitada pelas curvas:
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas
,
(isto é,
) e
. Vamos usar que a área de uma região no plano entre a reta horizontal
e uma função
é dada por
Aqui precisaremos determinar para quais valores de
cada curva fica “por cima” das outras, e depois somar integrais adequadas.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção das três curvas:
-
com dá , logo , ponto . -
com dá , ponto . -
com dá
ficando
(no intervalo de interesse) e ponto
.
Passo 3
Entre
e
, a curva que limita por cima é a mais baixa entre
e
. Vemos que para
vale
então o teto da região é
. Para
vale
então o teto passa a ser
. Em todo caso o chão é
. Assim dividimos a área em duas integrais:
Passo 4
Calculamos cada integral:
Somando dá
Resposta
A área da região é