Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^2, x+y=2 e y=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas ,y=x^2, ,x+y=2 (isto é, y=2-x) e ,y=0. Vamos usar que a área de uma região no plano entre a reta horizontal y=0 e uma função y=f(x) é dada por
integrala^b f(x),dx
Aqui precisaremos determinar para quais valores de x cada curva fica “por cima” das outras, e depois somar integrais adequadas.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção das três curvas:
  1. y=x^2 com y=0 x^2=0, logo x=0, ponto (0,0).
  2. x+y=2 com y=0 x=2, ponto (2,0).
  3. y=x^2 com y=2-x
x^2=2-x Longrightarrow x^2+x-2=0 Longrightarrow (x-1)(x+2)=0,
ficando x=1 (no intervalo de interesse) e ponto (1,1).

Passo 3

Entre x=0 e x=2, a curva que limita por cima é a mais baixa entre x^2 e 2-x. Vemos que para 0<= x<=1 vale
x^2<=2-x,
então o teto da região é y=x^2. Para 1<= x<=2 vale
2-x<= x^2,
então o teto passa a ser y=2-x. Em todo caso o chão é y=0. Assim dividimos a área em duas integrais:
A=integral0^1 x^2,dx ;+;integral1^2 (2-x),dx

Passo 4

Calculamos cada integral:
integral0^1 x^2,dx =l[tfracx^33r]0^1 =tfrac13,
integral1^2 (2-x),dx =l[2x-tfracx^22r]1^2 =l(4-2r)-l(2-tfrac12r) =2-tfrac32 =tfrac12
Somando dá
A=tfrac13+tfrac12=tfrac56

Resposta

A área da região é tfrac56

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