Calcule a seguinte integral mudando a ordem de integração:
integral0^1(integraly^1 x^2 e^x y d x) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1l(integraly^1 x^2 e^x y,dxr)dy
mudando a ordem de integração. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para integráveis contínuas e troca de ordem em integrais duplas.

Passo 2

Descriminamos a região de integração no plano (x,y). Como y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de y a 1, o domínio é
R=(x,y)mid 0<= y<= x<=1
Invertendo a ordem, x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 a x.

Passo 3

Reescrevemos a integral trocando a ordem:
integral0^1integraly^1 x^2 e^x y,dx,dy = integral0^1integral0^x x^2 e^x y,dy,dx
Como x^2 é constante em y, fazemos primeiro
integral0^x e^x y,dy =l[1xe^x yr]y=0^y=x =1xl(e^x^2-1r)
Multiplicando por x^2, o integrando vira
x^2cdot1xl(e^x^2-1r) = xl(e^x^2-1r)

Passo 4

Agora só resta a integral em x:
integral0^1 xl(e^x^2-1r),dx =integral0^1 x e^x^2,dx ;-;integral0^1 x,dx
Para a primeira, faça u=x^2, du=2x,dx, daí
integral0^1 x e^x^2,dx =tfrac12integral0^1 e^u,du =tfrac12l(e-1r)
A segunda é
integral0^1 x,dx =l[tfracx^22r]0^1 =tfrac12
Portanto
integral0^1 xl(e^x^2-1r),dx =tfrac12(e-1)-tfrac12 =tfrac12(e-2)

Resposta

e-22

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