Encontre a e b de forma que a função dada por f(x)=cx^2 , se x<1 a x+b , se x >= 1 seja derivável em x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
e pede que ela seja derivável em :
. Garantir a continuidade (os limites lateral esquerdo e direito devem coincidir com o valor da função).
. Igualar as derivadas laterais (derivada pela esquerda derivada pela direita).

Passo 2

Condição de continuidade em x=1:
limxto1^-f(x)=1^2=1 e f(1)=acdot1+b=a+b. Igualando esses valores obtemos
a + b = 1

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=1:
derivada pela esquerda
ddxx^2|x=1=2cdot1=2,
e derivada pela direita
ddx(a x + b)|x=1=a
Igualando-as vem
a = 2

Passo 4

Substituindo a=2 em a+b=1
2 + b = 1 Longrightarrow b = -1

Resposta

a = 2 e b = -1.

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