Calcule a área da região limitada pelas curvas y=4-x^{2} e y=x^{2}-4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \displaystyle y=4 - x^{2} e \displaystyle y = x^{2} - 4.
O conteúdo necessário é o cálculo de área entre duas curvas, usando integral definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para determinar os pontos de interseção das duas curvas, igualamos
4 - x^{2} \;=\; x^{2} - 4.
Rearranjando,
4 + 4 = x^{2} + x^{2} \quad\Longrightarrow\quad 8 = 2\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.

Passo 3

Na região -2 \le x \le 2, temos \displaystyle 4 - x^{2} como a curva superior e \displaystyle x^{2} - 4 como a curva inferior.
Logo, a área A é
A = \int_{-2}^{2} \Bigl[\,(4 - x^{2}) - (x^{2} - 4)\Bigr]\,dx.

Passo 4

Simplificando o integrando,
(4 - x^{2}) - (x^{2} - 4) = 4 - x^{2} - x^{2} + 4 = 8 - 2\,x^{2}.
Portanto,
A = \int_{-2}^{2} \bigl(8 - 2x^{2}\bigr)\,dx.
Como o integrando é função par, podemos escrever
A = 2 \int_{0}^{2} \bigl(8 - 2x^{2}\bigr)\,dx.
Calculamos a integral:
\int \bigl(8 - 2x^{2}\bigr)\,dx = 8x - \tfrac{2}{3}x^{3}
e avaliando de 0 a 2:
8\cdot 2 - \tfrac{2}{3}\cdot 2^{3} = 16 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{48}{3} - \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3}.
Multiplicando por 2,
A = 2 \times \tfrac{32}{3} = \tfrac{64}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{64}{3}

Exercícios relacionados