Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=x+1, y=0, x=0 e x=1 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas \;y = x + 1, \;y = 0, \;x = 0 e \;x = 1.
Isso envolve o método dos discos (ou “washers”), pois cada fatia em x gera um círculo de raio dado pela função y.

Passo 2

Para um dado x em [0,1], a região vai de y=0 até
y = x+1,
logo ao girar em torno do eixo x obtemos um disco de raio externo
R(x) = x+1
e raio interno
r(x) = 0.

Passo 3

O volume é dado por
V = \pi \int_{x=0}^{1} \bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx = \pi \int_{0}^{1} (x+1)^2 \,dx.

Passo 4

Calculando a integral, temos
\int_{0}^{1} (x+1)^2 \,dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 2x +1)\,dx = \Bigl[\tfrac{(x+1)^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.
Portanto
V = \pi \cdot \frac{7}{3} = \frac{7\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7\pi}{3}

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