QUESTÃO 1: Faça uma pesquisa e responda as seguintes questões abaixo:
TEMA: EQUAÇÃO VETORIAL DE UMA RETA (10 PONTOS)
a) Como podemos utilizar um vetor para obter a equação geral de uma reta no espaço vetorial \mathbb{R}^{2} ? Qual o papel do vetor para obtenção da equação de uma reta no plano? Para que serve a equação de uma reta? Explique com detalhes;
b) Utilize a teoria do item (a) para escrever a equação VETORIAL, GERAL e REDUZIDA das retas \overleftrightarrow{A B} e \overleftrightarrow{M N} onde \mathrm{A}(-5,2) e \mathrm{B}(-1,-3), \mathrm{M}(0,4) e \mathrm{N}(-3,5). Dê três pontos da reta \overleftrightarrow{A B} diferentes dos pontos A e B.
c) Como podemos escrever a equação de uma reta no espaço \mathbb{R}^{3} utilizando vetor? Qual o papel do vetor na equação de uma reta no espaço euclidiano tridimensional?
d) Utilize a teoria do item (c) para escrever a equação da reta \overleftrightarrow{A B} onde \mathrm{A}(-1,0,3) e \mathrm{B}(3,0-5). Determine outros três pontos da reta \overleftrightarrow{A B}.
Passo 1
O enunciado trata das formas de representar retas em espaços vetoriais usando vetores: primeiro em \mathbb{R}^2 (item a e b) e depois em \mathbb{R}^3 (item c e d). Vamos usar a noção de vetor posição de um ponto e vetor diretor da reta para deduzir sua equação vetorial, depois passar à forma geral (implícita) e à forma reduzida (paramétrica ou simétrica).
Passo 2
Para uma reta em \mathbb{R}^2, escolhemos um ponto P_0=(x_0,y_0) da reta e um vetor diretor \mathbf{v}=(a,b) paralelo à reta.
A equação vetorial é
O vetor \mathbf{v} indica a direção da reta e seu sentido conforme t varia.
A forma geral (implícita) usa um vetor normal \mathbf{n}=(b,-a) perpendicular a \mathbf{v}, produzindo
Três pontos além de A e B: tomar t=-1,\,\tfrac12,\,2. Isso dá (-5,0,11), (1,0,-1) e (7,0,-13).
Resposta
a) Em \mathbb{R}^2, a reta é \displaystyle (x,y)=(x_0,y_0)+t\,(a,b). O vetor diretor (a,b) fixa direção e sentido; a forma geral Ax+By+C=0 usa o normal e a forma reduzida é \;x=x_0+at,\;y=y_0+bt ou \tfrac{x-x_0}{a}=\tfrac{y-y_0}{b}. Serve para verificar pertencimento, intersecções e cálculos métricos.