QUESTÃO 1: Faça uma pesquisa e responda as seguintes questões abaixo:

TEMA: EQUAÇÃO VETORIAL DE UMA RETA (10 PONTOS)

a) Como podemos utilizar um vetor para obter a equação geral de uma reta no espaço vetorial \mathbb{R}^{2} ? Qual o papel do vetor para obtenção da equação de uma reta no plano? Para que serve a equação de uma reta? Explique com detalhes;
b) Utilize a teoria do item (a) para escrever a equação VETORIAL, GERAL e REDUZIDA das retas \overleftrightarrow{A B} e \overleftrightarrow{M N} onde \mathrm{A}(-5,2) e \mathrm{B}(-1,-3), \mathrm{M}(0,4) e \mathrm{N}(-3,5). Dê três pontos da reta \overleftrightarrow{A B} diferentes dos pontos A e B.
c) Como podemos escrever a equação de uma reta no espaço \mathbb{R}^{3} utilizando vetor? Qual o papel do vetor na equação de uma reta no espaço euclidiano tridimensional?
d) Utilize a teoria do item (c) para escrever a equação da reta \overleftrightarrow{A B} onde \mathrm{A}(-1,0,3) e \mathrm{B}(3,0-5). Determine outros três pontos da reta \overleftrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado trata das formas de representar retas em espaços vetoriais usando vetores: primeiro em \mathbb{R}^2 (item a e b) e depois em \mathbb{R}^3 (item c e d). Vamos usar a noção de vetor posição de um ponto e vetor diretor da reta para deduzir sua equação vetorial, depois passar à forma geral (implícita) e à forma reduzida (paramétrica ou simétrica).

Passo 2

Para uma reta em \mathbb{R}^2, escolhemos um ponto P_0=(x_0,y_0) da reta e um vetor diretor \mathbf{v}=(a,b) paralelo à reta.
A equação vetorial é
(x,y) = (x_0,y_0) + t\,(a,b),\quad t\in\mathbb{R}.
O vetor \mathbf{v} indica a direção da reta e seu sentido conforme t varia.
A forma geral (implícita) usa um vetor normal \mathbf{n}=(b,-a) perpendicular a \mathbf{v}, produzindo
b\,(x - x_0) - a\,(y - y_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A\,x+B\,y+C=0.
A forma reduzida (paramétrica ou simétrica) extrai as componentes de t:
x=x_0 + a\,t,\quad y=y_0 + b\,t \quad\text{ou}\quad \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}.
Essas representações servem para testar se um ponto pertence à reta, para intersectar retas e para cálculos de distância, ângulos etc.

Passo 3

a) Linha \overleftrightarrow{AB} com A(-5,2) e B(-1,-3).
  1. Vetor diretor \displaystyle\mathbf{v}_{AB}=B-A =(-1+5,\,-3-2)=(4,-5).
  2. Equação vetorial
(x,y)=(-5,2)+t\,(4,-5).
  1. Equação geral
    Um normal a (4,-5) é \mathbf{n}=( -5,-4) ou (5,4). Usando (5,4):
5(x+5) + 4(y-2)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 5x+4y+17=0.
  1. Equação reduzida
x = -5 + 4\,t,\quad y = 2 - 5\,t \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+5}{4}=\frac{2-y}{5}.
  1. Três pontos distintos de A e B: tomar t=-1,\,2,\,\tfrac12.
    Isso dá (-9,7), (3,-8) e \bigl(-3,-\tfrac12\bigr).
b) Linha \overleftrightarrow{MN} com M(0,4) e N(-3,5).
  1. Vetor diretor \mathbf{v}_{MN}=(-3,1).
  2. Equação vetorial
(x,y)=(0,4)+s\,(-3,1).
  1. Equação geral
    Normal \mathbf{n}=(1,3):
1\,(x-0) + 3\,(y-4)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+3y-12=0.
  1. Equação reduzida
\frac{x}{-3}=\frac{y-4}{1}.

Passo 4

Em \mathbb{R}^3, para escrever a reta que passa por P_0=(x_0,y_0,z_0) com vetor diretor \mathbf{v}=(a,b,c), usamos
(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t\,(a,b,c),\quad t\in\mathbb{R}.
O vetor \mathbf{v} fixa a direção da reta no espaço tridimensional e, variando t, “deslizamos” ao longo da reta.

Passo 5

Linha \overleftrightarrow{AB} em \mathbb{R}^3 com A(-1,0,3) e B(3,0,-5).
  1. Vetor diretor \displaystyle\mathbf{v}_{AB}=B-A=(3+1,\;0-0,\;-5-3)=(4,0,-8).
  2. Equação vetorial
(x,y,z)=(-1,0,3)+t\,(4,0,-8).
  1. Equação reduzida (paramétrica/simétrica)
x=-1+4\,t,\quad y=0,\quad z=3-8\,t \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+1}{4}=\frac{z-3}{-8},\;y=0.
  1. Três pontos além de A e B: tomar t=-1,\,\tfrac12,\,2. Isso dá (-5,0,11), (1,0,-1) e (7,0,-13).

Resposta

a) Em \mathbb{R}^2, a reta é \displaystyle (x,y)=(x_0,y_0)+t\,(a,b). O vetor diretor (a,b) fixa direção e sentido; a forma geral Ax+By+C=0 usa o normal e a forma reduzida é \;x=x_0+at,\;y=y_0+bt ou \tfrac{x-x_0}{a}=\tfrac{y-y_0}{b}. Serve para verificar pertencimento, intersecções e cálculos métricos.
b) \overleftrightarrow{AB}:
• Vetorial: (x,y)=(-5,2)+t\,(4,-5).
• Geral: 5x+4y+17=0.
• Reduzida: x=-5+4t,\;y=2-5t (ou \tfrac{x+5}{4}=\tfrac{2-y}{5}).
Pontos extras: (-9,7),\,(3,-8),\,(-3,-\tfrac12). \overleftrightarrow{MN}:
• Vetorial: (x,y)=(0,4)+s\,(-3,1).
• Geral: x+3y-12=0.
• Reduzida: \tfrac{x}{-3}=\tfrac{y-4}{1}.
c) Em \mathbb{R}^3, a reta é \displaystyle(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,(a,b,c). O vetor diretor (a,b,c) determina direção e sentido no espaço.
d) \overleftrightarrow{AB} com A(-1,0,3), B(3,0,-5):
• Vetorial: (x,y,z)=(-1,0,3)+t\,(4,0,-8).
• Reduzida: x=-1+4t,\;y=0,\;z=3-8t (ou \tfrac{x+1}{4}=\tfrac{z-3}{-8},\,y=0).
Pontos extras: (-5,0,11),\,(1,0,-1),\,(7,0,-13).

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