Calcule as integrais:
\int\left(\cos x+\operatorname{sec} ^{2} x+\frac{1}{x}+e^{x}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\cos x + \operatorname{sec}^2 x + \tfrac{1}{x} + e^x + \tfrac{1}{1+x^2}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral e as antiderivadas básicas de funções elementares: cosseno, secante ao quadrado, função inversa, exponencial e arcotangente.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral:
\int\bigl(\cos x + \operatorname{sec}^2 x + \tfrac{1}{x} + e^x + \tfrac{1}{1+x^2}\bigr)\,dx = \int\cos x\,dx + \int\operatorname{sec}^2 x\,dx + \int\tfrac{1}{x}\,dx + \int e^x\,dx + \int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 3

Calculamos cada termo separadamente:
  • \int\cos x\,dx = \sin x, pois \tfrac{d}{dx}\sin x = \cos x.
  • \int\operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x, pois \tfrac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x.
  • \int\tfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|, pois \tfrac{d}{dx}\ln|x| = 1/x.
  • \int e^x\,dx = e^x, pois \tfrac{d}{dx}e^x = e^x.
  • \int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x, pois \tfrac{d}{dx}\arctan x = \tfrac{1}{1+x^2}.

Passo 4

Somando todas as antiderivadas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(\cos x + \operatorname{sec}^2 x + \tfrac{1}{x} + e^x + \tfrac{1}{1+x^2}\bigr)\,dx = \sin x + \tan x + \ln|x| + e^x + \arctan x + C.

Resposta

\sin x + \tan x + \ln|x| + e^x + \arctan x + C

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