Calcule as integrais:
\int \frac{(1+\ln x)^{4}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(1+\ln x)^{4}}{x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é substituição simples em integrais: vamos usar que a derivada de \ln x é 1/x, permitindo transformar a integral numa potência de uma nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + \ln x,\quad du = \frac{dx}{x}.
Com isso, a integral fica
\int \frac{(1+\ln x)^{4}}{x}\,dx = \int u^{4}\,du.

Passo 3

Agora integramos a potência de u:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
Voltando à variável x, obtemos
\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{\bigl(1+\ln x\bigr)^{5}}{5} + C.

Resposta

\frac{(1+\ln x)^{5}}{5} + C

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