Calcule a área da região limitada pelas esguintes curvas:
x=y^{2}, e as retas y=x+3, y=-2, y=-3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola
x = y^2
e pelas retas
y = x + 3,\quad y = -2,\quad y = -3.
Vamos usar integração em relação a y, pois as fronteiras horizontalmente são dadas por retas y=\text{constante}.

Passo 2

Para cada y entre -3 e -2, a fronteira esquerda da região é dada por isolar x em y = x + 3, isto é,
x_{\text{esq}} = y - 3,
e a fronteira direita é dada pela parábola
x_{\text{dir}} = y^2.
Logo, y varia de -3 até -2.

Passo 3

A área é
\text{Área} = \int_{y=-3}^{-2}\bigl(x_{\text{dir}} - x_{\text{esq}}\bigr)\,dy = \int_{-3}^{-2}\bigl(y^2 - (y - 3)\bigr)\,dy = \int_{-3}^{-2}\bigl(y^2 - y + 3\bigr)\,dy.Á

Passo 4

Calculemos a integral:
\int\bigl(y^2 - y + 3\bigr)\,dy = \frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{2} + 3y.
Avaliaremos de -3 a -2:
\left[\frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{2} + 3y\right]_{-3}^{-2} = \bigl(-\tfrac{8}{3} - 2 -6\bigr) - \bigl(-9 - \tfrac{9}{2} -9\bigr) = -\tfrac{32}{3} - \bigl(-\tfrac{45}{2}\bigr) = \frac{71}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{71}{6}

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