Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(x+1)^{3}}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais. A estratégia será usar substituição para simplificar o denominador e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 1,\quad x = u - 1,\quad dx = du,
e os limites mudam: quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Então
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{(x+1)^{3}}\,dx = \int_{1}^{2}\frac{(u-1)^{2}}{u^{3}}\,du.

Passo 3

Expandimos o numerador e escrevemos cada termo com potência de u:
(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1,
logo
\frac{(u-1)^{2}}{u^{3}} = u^{-1}-2\,u^{-2}+u^{-3}.
Assim a integral fica
\int_{1}^{2}\bigl(u^{-1}-2u^{-2}+u^{-3}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int u^{-1}du = \ln u,\qquad \int -2u^{-2}du = 2u^{-1},\qquad \int u^{-3}du = -\tfrac{1}{2}u^{-2}.
Portanto uma primitiva é
F(u)=\ln u + 2u^{-1} - \tfrac{1}{2}u^{-2}.
Avaliando de u=1 a u=2:
F(2)=\ln2 + 2\cdot\tfrac12 - \tfrac12\cdot\tfrac1{4} = \ln2 +1 - \tfrac{1}{8} = \ln2 + \tfrac{7}{8},
F(1)=\ln1 + 2\cdot1 - \tfrac12\cdot1 = 0 +2 - \tfrac12 = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Subtraindo, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{(x+1)^{3}}\,dx = F(2)-F(1) = \Bigl(\ln2 + \tfrac{7}{8}\Bigr) - \tfrac{3}{2} = \ln2 - \tfrac{5}{8}.

Resposta

\ln2 - \tfrac{5}{8}

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