Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin(x)\,dx.
O método mais direto aqui é usar integração por partes repetida, pois temos um produto de e^{-x} com \sin(x).

Passo 2

Definimos a integral indefinida
I = \int e^{-x}\sin(x)\,dx
e aplicamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhendo u=\sin(x) e dv=e^{-x}dx, temos du=\cos(x)\,dx e v=-e^{-x}. Logo,
I = -e^{-x}\sin(x)\;-\;\int\bigl(-e^{-x}\bigr)\cos(x)\,dx = -e^{-x}\sin(x) + \int e^{-x}\cos(x)\,dx.

Passo 3

Chamemos
J = \int e^{-x}\cos(x)\,dx.
Fazendo integração por partes em J com u=\cos(x), dv=e^{-x}dx, obtemos du=-\sin(x)\,dx e v=-e^{-x}. Assim,
J = -e^{-x}\cos(x)\;-\;\int\bigl(-e^{-x}\bigr)\bigl(-\sin(x)\bigr)\,dx = -e^{-x}\cos(x) - \int e^{-x}\sin(x)\,dx = -e^{-x}\cos(x) - I.

Passo 4

Voltando à expressão de I:
I = -e^{-x}\sin(x) + J = -e^{-x}\sin(x) + \bigl(-e^{-x}\cos(x) - I\bigr) = -e^{-x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)\;-\;I.
Somando I dos dois lados,
2I = -e^{-x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = -\frac12\,e^{-x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x}\sin(x)\,dx = \left[-\frac12\,e^{-x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac12\Bigl(e^{-\frac{\pi}{2}}(1+0)-\;e^{0}(0+1)\Bigr)
= -\frac12\bigl(e^{-\frac{\pi}{2}}-1\bigr) = \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{2}}}{2}.

Resposta

\frac{1 - e^{-\frac{\pi}{2}}}{2}

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