Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo x a região limitada pelas funções y=\frac{13-x^{2}}{4} e y=\frac{x+5}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas
y = \frac{13 - x^{2}}{4}
e
y = \frac{x + 5}{2}.
O conteúdo é volume de revolução pelo método dos anéis (washers), que requer encontrar os pontos de intersecção, decidir qual curva fica “por cima” e montar a integral de \pi\bigl(R_{\text{externo}}^{2}-R_{\text{interno}}^{2}\bigr).

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas funções:
\frac{13 - x^{2}}{4} \;=\; \frac{x + 5}{2}.
Multiplicando por 4,
13 - x^{2} = 2(x + 5) \quad\Longrightarrow\quad -x^{2} - 2x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 2x - 3 = 0,
cuja solução é x = 1 e x = -3.

Passo 3

Em qualquer ponto do intervalo, por exemplo x=0, temos
\frac{13-0^{2}}{4}=3{,}25 \quad>\quad \frac{0+5}{2}=2{,}5,
logo \tfrac{13 - x^{2}}{4} é a curva superior (raio externo) e \tfrac{x + 5}{2} é a curva inferior (raio interno).

Passo 4

Pelo método dos anéis, o volume é
V = \pi \int_{-3}^{1} \Bigl[\bigl(\tfrac{13 - x^{2}}{4}\bigr)^{2} -\bigl(\tfrac{x + 5}{2}\bigr)^{2}\Bigr] \,dx.

Passo 5

Escrevendo com denominação comum:
\bigl(\tfrac{13 - x^{2}}{4}\bigr)^{2} = \frac{(13 - x^{2})^{2}}{16}, \quad \bigl(\tfrac{x + 5}{2}\bigr)^{2} = \frac{(x + 5)^{2}}{4},
então
V = \frac{\pi}{16} \int_{-3}^{1} \bigl[(13 - x^{2})^{2} - 4(x + 5)^{2}\bigr] \,dx.
Expandindo o integrando:
(13 - x^{2})^{2} - 4(x + 5)^{2} = x^{4} - 30x^{2} - 40x + 69.
Uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^{5}}{5} \;-\; 10x^{3} \;-\; 20x^{2} \;+\; 69x.

Passo 6

Avaliando de -3 a 1:
F(1) = \frac{1}{5} -10 -20 +69 = \frac{196}{5}, \quad F(-3) = -\frac{243}{5} +270 -180 -207 = -\frac{828}{5},
F(1)-F(-3) = \frac{196}{5} - \Bigl(-\frac{828}{5}\Bigr) = \frac{1024}{5}.
Portanto
V = \frac{\pi}{16}\,\frac{1024}{5} = \frac{64}{5}\,\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{64\pi}{5}

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