Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo
a região limitada pelas funções
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelas curvas
e
O conteúdo é volume de revolução pelo método dos anéis (washers), que requer encontrar os pontos de intersecção, decidir qual curva fica “por cima” e montar a integral de
.
Passo 2
Para achar os limites de integração, igualamos as duas funções:
Multiplicando por 4,
cuja solução é
e
.
Passo 3
Em qualquer ponto do intervalo, por exemplo
, temos
logo
é a curva superior (raio externo) e
é a curva inferior (raio interno).
Passo 4
Pelo método dos anéis, o volume é
Passo 5
Escrevendo com denominação comum:
então
Expandindo o integrando:
Uma antiderivada é
Passo 6
Avaliando de
a
:
Portanto