Calcule a área da região limitada pelo gráfico de
e o eixo
com
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a área da região que está entre o gráfico da função
e o eixo
, no intervalo de
de 0 a 2. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre uma curva e o eixo
. Isso envolve calcular a integral definida da função
no intervalo dado. A integral nos dá a soma infinita de pequenas áreas sob a curva, de
até
.
Passo 3
Vamos escrever a expressão da integral que precisamos calcular:
Aqui,
representa a integral, e
indica que estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a antiderivada da função
. A antiderivada de
é
, então:
Aqui,
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, ela se cancela.
Passo 5
Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de integração, de 0 a 2:
Simplificando cada parte:
Para
:
Para
:
Resposta
Então, a área da região limitada pelo gráfico de
e o eixo
de
a
é
unidades de área.