Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x^2-x e o eixo O x com 0 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a área da região que está entre o gráfico da função f(x) = x^2 - x e o eixo OX , no intervalo de x de 0 a 2. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre uma curva e o eixo OX . Isso envolve calcular a integral definida da função f(x) no intervalo dado. A integral nos dá a soma infinita de pequenas áreas sob a curva, de x = 0 até x = 2 .

Passo 3

Vamos escrever a expressão da integral que precisamos calcular:
Área = integral0^2 (x^2 - x) , dx Á
Aqui, integral representa a integral, e dx indica que estamos integrando em relação a x .

Passo 4

Agora, vamos calcular a antiderivada da função f(x) = x^2 - x . A antiderivada de x^n é x^n+1n+1 , então:
integral (x^2 - x) , dx = x^33 - x^22 + C
Aqui, C é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, ela se cancela.

Passo 5

Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de integração, de 0 a 2:
Área = [ 2^33 - 2^22 ] - [ 0^33 - 0^22 ] Á
Simplificando cada parte:
Para x = 2 :
83 - 42 = 83 - 2 = 83 - 63 = 23
Para x = 0 :
0 - 0 = 0

Resposta

Então, a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x^2 - x e o eixo OX de x = 0 a x = 2 é 23 unidades de área.

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