Determine quando o campo vetorial nos itens abaixo é conservativo. Quando o campo for conservativo, determine uma função potencial para ele
Passo 1
O enunciado pede para verificar quando o campo
é conservativo e, nesse caso, encontrar sua função potencial. O conteúdo utilizado será o teste de que um campo em é conservativo se o seu rotacional for nulo em uma região simplesmente–conexa, e a integração das componentes para obter a potencial.
é conservativo e, nesse caso, encontrar sua função potencial. O conteúdo utilizado será o teste de que um campo em
Passo 2
Seja
Calculamos as derivadas parciais necessárias ao rotacional
.
Passo 3
Portanto todas as componentes do rotacional são zero, ou seja
Passo 4
Como
é polinomial, está definido em todo
, que é simplesmente–conexo. Logo o fato de
garante que
é conservativo em todo
.
Passo 5
Para achar a potencial
resolvemos
Integrando em
obtemos
onde
é uma função “constante” em relação a
.
Passo 6
Impondo
segue
, logo
Em seguida, de
vem
e portanto
Passo 7
Substituindo
em
, obtemos a função potencial
Resposta
O campo
é conservativo em todo
e uma função potencial é