Determine quando o campo vetorial nos itens abaixo é conservativo. Quando o campo for conservativo, determine uma função potencial para ele
F(x, y, z)=(2 y^3-8 x z^2) i+(6 x y^2+1) j-(8 x^2 z+3 z^2) k

Passo 1

O enunciado pede para verificar quando o campo
F(x,y,z) = l(2y^3 - 8x z^2r),i + l(6x y^2+1r),j - l(8x^2z + 3z^2r),k
é conservativo e, nesse caso, encontrar sua função potencial. O conteúdo utilizado será o teste de que um campo em R^3 é conservativo se o seu rotacional for nulo em uma região simplesmente–conexa, e a integração das componentes para obter a potencial.

Passo 2

Seja
P(x,y,z) = 2y^3 - 8x z^2, Q(x,y,z) = 6x y^2 + 1, R(x,y,z) = -l(8x^2z + 3z^2r)
Calculamos as derivadas parciais necessárias ao rotacional nablatimes F.

Passo 3

partial Ppartial y = 6y^2, partial Qpartial x = 6y^2,
partial Ppartial z = -16 x z, partial Rpartial x = -16 x z,
partial Qpartial z = 0, partial Rpartial y = 0
Portanto todas as componentes do rotacional são zero, ou seja
nablatimes F = 0

Passo 4

Como F é polinomial, está definido em todo R^3, que é simplesmente–conexo. Logo o fato de nablatimesF=0 garante que F é conservativo em todo R^3.

Passo 5

Para achar a potencial phi(x,y,z) resolvemos
partial phipartial x = P(x,y,z) = 2y^3 - 8x z^2
Integrando em x obtemos
phi(x,y,z) = integral l(2y^3 - 8x z^2r),dx = 2x,y^3 ;-;4x^2z^2 ;+; H(y,z),
onde H(y,z) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 6

Impondo
partial phipartial y = 6x y^2 ;+;partial Hpartial y ;=; Q(x,y,z) =6x y^2+1
segue partial H/partial y = 1, logo
H(y,z) = y + G(z)
Em seguida, de
partial phipartial z = -8x^2z + G'(z) ;=; R(x,y,z) = -8x^2z -3z^2,
vem G'(z) = -3z^2 e portanto
G(z) = -,z^3 + C

Passo 7

Substituindo H(y,z)=y - z^3 + C em phi, obtemos a função potencial
phi(x,y,z) = 2x,y^3 ;-;4x^2z^2 ;+;y ;-;z^3 ;+;C

Resposta

O campo F é conservativo em todo R^3 e uma função potencial é
phi(x,y,z)=2x,y^3-4x^2z^2+y - z^3 + C

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