Calcule a área da região limitada pelo gráfico de
, pela reta
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região limitada pelo gráfico de
, pela reta
, no intervalo de
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração para encontrar a área entre duas curvas. Basicamente, iremos integrar a diferença entre as duas funções no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo de
a
. Isso é importante porque a área será a integral da função de cima menos a função de baixo.
Vamos comparar
e
em alguns pontos:
- Para
: e → Ambas são iguais. - Para
: e → Ambas são iguais. - Para
: e → Ambas são iguais.
Agora, vamos ver o que acontece entre esses pontos. Por exemplo, para
:
Aqui,
. E para
:
Novamente,
. Então, no intervalo de
a
, a reta
está sempre acima de
.
Passo 3
Com isso, sabemos que a área
que queremos calcular é dada pela integral da diferença entre
e
de
a
:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais básicas são:
Então, aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
a
:
Calculando cada parte:
- Para
:
- Para
:
Então:
Hmm, isso não faz sentido porque sabemos que a área não pode ser zero. O que aconteceu? Ah, percebi que ambas as funções são simétricas em relação à origem, então a área total de
a
na verdade se cancela. Para evitar isso, vamos calcular a área de
a
e dobrar, já que a região de
a
é igual.
Passo 6
Vamos recalcular a integral de
a
:
Como a área de
a
é a mesma, a área total será:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.