Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x^3, pela reta y=x, com -1 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x^3 , pela reta y = x , no intervalo de -1 <= x <= 1 . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração para encontrar a área entre duas curvas. Basicamente, iremos integrar a diferença entre as duas funções no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo de -1 a 1 . Isso é importante porque a área será a integral da função de cima menos a função de baixo.
Vamos comparar f(x) = x^3 e g(x) = x em alguns pontos:
  • Para x = -1 : f(-1) = (-1)^3 = -1 e g(-1) = -1 → Ambas são iguais.
  • Para x = 0 : f(0) = 0 e g(0) = 0 → Ambas são iguais.
  • Para x = 1 : f(1) = 1 e g(1) = 1 → Ambas são iguais.
Agora, vamos ver o que acontece entre esses pontos. Por exemplo, para x = 0.5 :
  • f(0.5) = (0.5)^3 = 0.125
  • g(0.5) = 0.5
Aqui, g(x) > f(x) . E para x = -0.5 :
  • f(-0.5) = (-0.5)^3 = -0.125
  • g(-0.5) = -0.5
Novamente, g(x) > f(x) . Então, no intervalo de -1 a 1 , a reta y = x está sempre acima de f(x) = x^3 .

Passo 3

Com isso, sabemos que a área A que queremos calcular é dada pela integral da diferença entre g(x) e f(x) de x = -1 a x = 1 :
A = integral-1^1 [g(x) - f(x)] , dx = integral-1^1 [x - x^3] , dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente:
integral [x - x^3] , dx = integral x , dx - integral x^3 , dx
As integrais básicas são:
integral x , dx = x^22 + C
integral x^3 , dx = x^44 + C
Então, aplicando isso:
integral [x - x^3] , dx = ( x^22 ) - ( x^44 ) + C

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -1 a 1 :
A = [ x^22 - x^44 ]-1^1 = ( 1^22 - 1^44 ) - ( (-1)^22 - (-1)^44 )
Calculando cada parte:
  • Para x = 1 :
12 - 14 = 24 - 14 = 14
  • Para x = -1 :
12 - 14 = 24 - 14 = 14
Então:
A = 14 - 14 = 0
Hmm, isso não faz sentido porque sabemos que a área não pode ser zero. O que aconteceu? Ah, percebi que ambas as funções são simétricas em relação à origem, então a área total de -1 a 1 na verdade se cancela. Para evitar isso, vamos calcular a área de 0 a 1 e dobrar, já que a região de -1 a 0 é igual.

Passo 6

Vamos recalcular a integral de 0 a 1 :
A = integral0^1 [x - x^3] , dx = [ x^22 - x^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) - ( 0 - 0 ) = 14
Como a área de -1 a 0 é a mesma, a área total será:
Atotal = 2 times 14 = 12

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 12 unidades quadradas.

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