Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x^3-2 x^2-5 x+6, pelo eixo x e pelas retas x=-1 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente quer calcular a área da região que está limitada pelo gráfico da função f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 , pelo eixo x (que é onde y = 0 ), e pelas linhas verticais x = -1 e x = 2 .
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve cálculo de integrais definidas, que é uma parte da Cálculo Integral. Precisamos usar a integral para encontrar a área sob a curva de uma função entre dois pontos no eixo x .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área entre uma curva e o eixo x . Essencialmente, queremos somar infinitos retângulos fininhos sob o gráfico da função entre x = -1 e x = 2 . Para isso, usamos a integral definida.
Fórmula básica da integral definida:
Área = integrala^b f(x) , dx Á
onde a e b são os limites de integração (neste caso, -1 e 2).

Passo 3

Antes de integrar, precisamos verificar se a função está acima ou abaixo do eixo x nesse intervalo. Isso porque se parte da função estiver abaixo do eixo x , a integral vai dar uma área negativa, e a gente quer a área total (positiva).
Vamos achar onde f(x) = 0 entre x = -1 e x = 2 .
Resolvendo x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0 .
Pode ser que a função cruza o eixo x dentro desse intervalo, então precisamos encontrar essas raízes.

Passo 4

Para resolver x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0 , vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores de 6 sobre divisores de 1: pm1, pm2, pm3, pm6 .
Testando x = 1 :
1 - 2 -5 +6 = 0
Então, x = 1 é uma raiz.
Agora, podemos fazer a divisão polinomial para fatorar o polinômio.

Passo 5

Dividindo x^3 - 2x^2 - 5x + 6 por x - 1 :
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)
Agora, fatorando x^2 - x - 6 :
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Então, as raízes são x = 1, 3, -2 .

Passo 6

Dentro do intervalo x = -1 a x = 2 , as raízes são x = -2 e x = 1 . Mas como x = -2 está fora do intervalo, só nos importa x = 1 .
Isso significa que a função cruza o eixo x em x = 1 dentro do nosso intervalo. Então, vamos dividir a integral em duas partes: de x = -1 a x = 1 , e de x = 1 a x = 2 .

Passo 7

Vamos determinar o sinal da função em cada intervalo:
  • De -1 a 1 : Escolha um ponto, por exemplo x = 0 :
f(0) = 0 - 0 - 0 + 6 = 6 > 0
Então, a função está acima do eixo x nesse intervalo.
  • De 1 a 2 : Escolha um ponto, por exemplo x = 1.5 :
f(1.5) = (3.375) - (4.5) - (7.5) + 6 = -2.625 < 0
Então, a função está abaixo do eixo x nesse intervalo.

Passo 8

Como a área não pode ser negativa, vamos pegar o valor absoluto da integral onde a função está abaixo do eixo x .
Então, a área total A é:
A = integral-1^1 f(x) , dx - integral1^2 f(x) , dx

Passo 9

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral-1^1 (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) , dx
Integrando termo a termo:
x^44 - 2x^33 - 5x^22 + 6x |-1^1
Calculando em x = 1 :
14 - 23 - 52 + 6 = 14 - 23 - 52 + 6
Convertendo para frações com denominador 12:
312 - 812 - 3012 + 7212 = 3712
Calculando em x = -1 :
14 - -23 - 52 - 6 = 14 + 23 - 52 - 6
Convertendo para frações com denominador 12:
312 + 812 - 3012 - 7212 = -9112
Então, a primeira integral:
3712 - ( -9112 ) = 12812 = 323

Passo 10

Segunda integral:
integral1^2 (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) , dx
Integrando termo a termo:
x^44 - 2x^33 - 5x^22 + 6x |1^2
Calculando em x = 2 :
164 - 163 - 202 + 12 = 4 - 163 - 10 + 12
Convertendo para frações com denominador 3:
123 - 163 - 303 + 363 = 23
Calculando em x = 1 :
14 - 23 - 52 + 6 = 14 - 23 - 52 + 6 = 3712 (como calculamos antes)
Então, a segunda integral:
23 - 3712 = 812 - 3712 = -2912
Pegamos o valor absoluto:
2912

Passo 11

Finalmente, somamos as duas áreas:
A = 323 + 2912 = 12812 + 2912 = 15712 approx 13,08

Resposta

A área da região limitada pelo gráfico da função f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 , pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 2 é 15712 unidades quadradas, aproximadamente 13,08 unidades².

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