Calcule a área da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo x e pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente quer calcular a área da região que está limitada pelo gráfico da função , pelo eixo (que é onde ), e pelas linhas verticais e .
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve cálculo de integrais definidas, que é uma parte da Cálculo Integral. Precisamos usar a integral para encontrar a área sob a curva de uma função entre dois pontos no eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área entre uma curva e o eixo . Essencialmente, queremos somar infinitos retângulos fininhos sob o gráfico da função entre e . Para isso, usamos a integral definida.
Fórmula básica da integral definida:
onde e são os limites de integração (neste caso, -1 e 2).
Passo 3
Antes de integrar, precisamos verificar se a função está acima ou abaixo do eixo nesse intervalo. Isso porque se parte da função estiver abaixo do eixo , a integral vai dar uma área negativa, e a gente quer a área total (positiva).
Vamos achar onde entre e .
Resolvendo .
Pode ser que a função cruza o eixo dentro desse intervalo, então precisamos encontrar essas raízes.
Passo 4
Para resolver , vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são divisores de 6 sobre divisores de 1: .
Testando :
Então, é uma raiz.
Agora, podemos fazer a divisão polinomial para fatorar o polinômio.
Passo 5
Dividindo por :
Agora, fatorando :
Então, as raízes são .
Passo 6
Dentro do intervalo a , as raízes são e . Mas como está fora do intervalo, só nos importa .
Isso significa que a função cruza o eixo em dentro do nosso intervalo. Então, vamos dividir a integral em duas partes: de a , e de a .
Passo 7
Vamos determinar o sinal da função em cada intervalo:
De a : Escolha um ponto, por exemplo :
Então, a função está acima do eixo nesse intervalo.
De a : Escolha um ponto, por exemplo :
Então, a função está abaixo do eixo nesse intervalo.
Passo 8
Como a área não pode ser negativa, vamos pegar o valor absoluto da integral onde a função está abaixo do eixo .
A área da região limitada pelo gráfico da função f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 , pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 2 é 15712 unidades quadradas, aproximadamente 13,08 unidades².