Calcule a área da região limitada pelo gráfico de y=x \ln x e y=0 de x=\frac{1}{e} a x=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x\ln x e y = 0 para x variando de \tfrac{1}{e} até 1. O conteúdo aqui é cálculo de área por integral definida, e como x\ln x\le0 nesse intervalo, vamos usar
\text{área}=\int_{1/e}^{1}\bigl(0 - x\ln x\bigr)\,dx.á

Passo 2

Escrevendo a área como
A = -\int_{1/e}^{1}x\ln x\,dx,
precisamos encontrar uma antiderivada de x\ln x.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int x\ln x\,dx, usamos integração por partes. Tomemos
u = \ln x, \quad dv = x\,dx
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \frac{x^2}{2}.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.

Passo 4

Como queremos -\int x\ln x\,dx, a antiderivada útil é
F(x) = -\frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4}.
Então
A = F(1) - F\!\bigl(\tfrac{1}{e}\bigr).
Calculando:
F(1) = -\frac{1}{2}\cdot0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4},
F\!\bigl(\tfrac{1}{e}\bigr) = -\frac{1}{2e^2}\bigl(-1\bigr) + \frac{1}{4e^2} = \frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4e^2} = \frac{3}{4e^2}.

Passo 5

Subtraindo,
A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4e^2} = \frac{1}{4}\Bigl(1 - \frac{3}{e^2}\Bigr).

Resposta

\frac{1}{4}\Bigl(1 - \frac{3}{e^2}\Bigr)

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