Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir:
\int \operatorname{arctg} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arctg}x\,dx
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, pois temos um produto entre a função \operatorname{arctg}x e 1 (que é o nosso dx). Para isso, vamos precisar da fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e da derivada
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{arctg}x \quad\text{e}\quad dv = dx.
Dessa forma,
du = \frac{dx}{1+x^{2}} \quad\text{e}\quad v = \int dv = \int dx = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{arctg}x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\,\operatorname{arctg}x - \int x\cdot\frac{dx}{1+x^{2}}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx,
fazemos a substituição t=1+x^{2}, então dt=2x\,dx e
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} =\frac{1}{2}\ln\bigl|t\bigr|+C =\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C.

Passo 5

Voltando à integral principal, temos
\int \operatorname{arctg}x\,dx = x\,\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C.

Resposta

x\,\operatorname{arctg}x-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C.

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