3^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{2 , 5} pts) Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóide z=10-3 x^{2}-3 y^{2} e pelo plano z=4.
R. A interseção do parabolóide com o plano é a circunferência x^{2}+y^{2}=2 no plano z=4. Podemos descrever esse sólido, em coordenadas cilíndricas, por
\begin{aligned} & 4 \leq z \leq 10-3 r^{2} \\\ & 0 \leq r \leq \sqrt{2} \\\ & 0 \leq \theta \leq 2 \pi \end{aligned}
Seu volume é dado por
\begin{aligned} \iiint_{S} d V & =\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{4}^{10-3 r^{2}} r d z d r d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} r\left(10-3 r^{2}-4\right) d r d \theta=\left(3 r^{2}-\frac{3}{4} r^{4}\right)_{0}^{\sqrt{2}} \cdot 2 \pi \\ & =2 \pi(6-3)=6 \pi \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo parabolóide \;z = 10 - 3x^2 - 3y^2\; e pelo plano \;z = 4. Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, pois a simetria radial facilita o cálculo.

Passo 2

Para determinar a projeção da região no plano xy, igualamos as superfícies:
10 - 3x^2 - 3y^2 = 4
x^2 + y^2 = 2
Em coordenadas cilíndricas isso é r = \sqrt{2}. Logo, 0 \le r \le \sqrt{2} e 0 \le \theta \le 2\pi, enquanto z varia de 4 até 10 - 3r^2.

Passo 3

Escrevemos o volume como integral tripla:
V = \iiint_{S} dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{4}^{\,10 - 3r^2} r \,dz\,dr\,d\theta
o fator r é o Jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{4}^{\,10 - 3r^2} dz = (10 - 3r^2) - 4 = 6 - 3r^2.
Fica então
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} r\,(6 - 3r^2)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3)\,dr = \biggl[3r^2 - \tfrac{3}{4}r^4\biggr]_{0}^{\sqrt{2}} = 3\cdot2 - \tfrac{3}{4}\cdot4 = 6 - 3 = 3.
Assim,
V = \int_{0}^{2\pi} 3\,d\theta.

Passo 6

Finalmente, integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 3\,d\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi.

Resposta

6\pi

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