3^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{2 , 5} pts) Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóide z=10-3 x^{2}-3 y^{2} e pelo plano z=4.
R. A interseção do parabolóide com o plano é a circunferência x^{2}+y^{2}=2 no plano z=4. Podemos descrever esse sólido, em coordenadas cilíndricas, por
\begin{aligned}
\iiint_{S} d V & =\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{4}^{10-3 r^{2}} r d z d r d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} r\left(10-3 r^{2}-4\right) d r d \theta=\left(3 r^{2}-\frac{3}{4} r^{4}\right)_{0}^{\sqrt{2}} \cdot 2 \pi \\
& =2 \pi(6-3)=6 \pi
\end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo parabolóide \;z = 10 - 3x^2 - 3y^2\; e pelo plano \;z = 4. Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, pois a simetria radial facilita o cálculo.
Passo 2
Para determinar a projeção da região no plano xy, igualamos as superfícies:
10 - 3x^2 - 3y^2 = 4
x^2 + y^2 = 2
Em coordenadas cilíndricas isso é r = \sqrt{2}. Logo, 0 \le r \le \sqrt{2} e 0 \le \theta \le 2\pi, enquanto z varia de 4 até 10 - 3r^2.
Passo 3
Escrevemos o volume como integral tripla:
V = \iiint_{S} dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{4}^{\,10 - 3r^2} r \,dz\,dr\,d\theta
o fator r é o Jacobiano das coordenadas cilíndricas.