Calcule cada uma das integrais definidas a seguir:
\int_{-1}^{2} \frac{x}{e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\frac{x}{e^{x}}\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, já que temos um produto entre x e e^{-x}.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de integração por partes, escrevemos a integral como
\int x\,e^{-x}\,dx
e escolhemos
u = x,\quad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = dx,\quad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos a antiderivada
F(x) = -x\,e^{-x} - \int\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}\bigl(x+1\bigr) + C.

Passo 3

Agora avaliamos F(x) de -1 a 2:
F(2) = -e^{-2}\,(2+1) = -3e^{-2},
F(-1) = -e^{-(-1)}\,((-1)+1) = -e^{1}\cdot0 = 0.
Portanto
\int_{-1}^{2}x\,e^{-x}\,dx = F(2) - F(-1) = -3e^{-2} - 0 = -3e^{-2}.

Resposta

-3e^{-2}

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