Calcule as seguintes integrais impróprias:
\int_{1}^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{(3 \mathrm{x}+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3x+1)^{2}}\,dx
O conteúdo envolve definição de integral imprópria em intervalo não limitado e uso de substituição para encontrar a primitiva.

Passo 2

Expressamos a integral como limite:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3x+1)^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{(3x+1)^{2}}\,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 3x + 1,\quad du = 3\,dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{du}{3}.
Quando x=1, u=4; quando x=b, u=3b+1. Logo
\int_{1}^{b} \frac{1}{(3x+1)^{2}}\,dx = \int_{4}^{3b+1} \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{4}^{3b+1} u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = -u^{-1}.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{4}^{3b+1} u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{4}^{3b+1} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{3b+1} + \tfrac{1}{4}\Bigr).

Passo 5

Tomamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty} \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{3b+1} + \tfrac{1}{4}\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
Logo a integral converge.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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