Cálcule a área da região limitada pelos gráficos de f(x)=\sin x e g(x)= \cos x de x=0 até x=a é o primeiro para o qual um ponto P=(a, b) com a>0 está na intersecção dos gráficos.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \sin x e \cos x no intervalo de x=0 até x=a, onde a>0 é o primeiro ponto em que elas se cruzam. O conteúdo aqui é “área entre curvas”: primeiro determinamos o ponto de interseção (a,b) e depois calculamos
\text{Área}=\int_{0}^{a}\bigl[\underbrace{\text{função superior}}_{\,\cos x}-\underbrace{\text{função inferior}}_{\,\sin x}\bigr]\,dx.Áçãçã

Passo 2

Para achar o ponto de interseção (a,b) resolvemos
\sin a = \cos a
que equivale a
\tan a = 1.
No primeiro a>0 temos
a = \frac{\pi}{4},
e então
b = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Agora montamos o integral da área, sabendo que em [0,\pi/4] temos \cos x\ge\sin x:
\text{Área} =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\bigl(\cos x - \sin x\bigr)\,dx.Á

Passo 4

Calculamos a primitiva de \cos x - \sin x, que é \sin x + \cos x. Logo
\text{Área} =\Bigl[\sin x + \cos x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\bigl(\sin\tfrac{\pi}{4} + \cos\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\bigl(\sin 0 + \cos 0\bigr) =\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)-(0+1) =\sqrt{2}-1.Á

Resposta

\displaystyle \sqrt{2}-1

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