Mostre que se F(x) é primitiva de f(x), então F\left(x^{2}\right) é primitiva de 2 x f\left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado diz que F(x) é uma primitiva de f(x), isto é,
F'(x)=f(x).
Queremos mostrar que então
G(x)=F\bigl(x^2\bigr)
é primitiva de 2x\,f\bigl(x^2\bigr). Para isso vamos usar a regra da cadeia na diferenciação.

Passo 2

Calculemos a derivada de G(x)=F\bigl(x^2\bigr) aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}F\bigl(x^2\bigr) =F'\bigl(x^2\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr) =F'\bigl(x^2\bigr)\cdot 2x.

Passo 3

Como sabemos que F'(t)=f(t) para todo t, basta tomar t=x^2. Logo
F'\bigl(x^2\bigr)=f\bigl(x^2\bigr),
e portanto
\frac{d}{dx}F\bigl(x^2\bigr) =2x\,f\bigl(x^2\bigr).

Passo 4

Concluímos que a derivada de G(x)=F(x^2) é exatamente 2x\,f(x^2). Assim, G(x) é uma primitiva de 2x\,f(x^2).

Resposta

F(x^2) é primitiva de 2x\,f(x^2).

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