Verifique que se F é a primitiva de f e a \neq 0, então:
\int x^{n-1} f\left(a x^{n}+b\right) d x=\frac{F\left(a x^{n}+b\right)}{a n}+C

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, por simples mudança de variável em uma integral indefinida, que se F é primitiva de f (isto é, F'(u)=f(u)) e a\neq0, então
\int x^{n-1} f\!\bigl(a x^{n}+b\bigr)\,dx =\frac{F\bigl(a x^{n}+b\bigr)}{a\,n}+C.
O conteúdo usado aqui é técnica de substituição: reconhecer uma parte da integral cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = a\,x^{n} + b.
Diferenciando, obtemos
du = a\,n\,x^{n-1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{n-1}\,dx = \frac{du}{a\,n}.

Passo 3

Substituindo em \int x^{n-1} f\!\bigl(a x^{n}+b\bigr)\,dx, temos
\int x^{n-1} f(u)\,dx = \int f(u)\,\frac{du}{a\,n} = \frac{1}{a\,n}\,\int f(u)\,du.

Passo 4

Como F é primitiva de f, isto é, F'(u)=f(u), segue que
\int f(u)\,du = F(u) + C.
Logo
\frac{1}{a\,n}\,\int f(u)\,du = \frac{F(u)}{a\,n} + C.

Passo 5

Voltando à variável x (isto é, u = a\,x^{n}+b), concluímos
\int x^{n-1} f\!\bigl(a x^{n}+b\bigr)\,dx = \frac{F\bigl(a x^{n}+b\bigr)}{a\,n} + C.

Resposta

\int x^{n-1} f\bigl(a x^{n}+b\bigr)\,dx = \frac{F\bigl(a x^{n}+b\bigr)}{a\,n} + C.

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