Considere as funções f(x)=x^{3} e g(x)=3 x^{2}-2 x. Encontre os pontos onde f(x)=g(x). Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \displaystyle f(x)=x^3 e \displaystyle g(x)=3x^2-2x.
O conteúdo principal é “área entre duas curvas”: primeiro achamos as interseções, depois determinamos qual função está por cima em cada intervalo e, por fim, calculamos a integral da diferença.

Passo 2

Para encontrar as abscissas de interseção resolvemos
x^3 \;=\; 3x^2 - 2x
x^3 -3x^2 +2x =0
x\,(x^2 -3x +2)=0
x\,(x-1)\,(x-2)=0
Logo as interseções ocorrem em x=0, x=1 e x=2. Substituindo em qualquer das duas funções, os pontos são (0,0), (1,1) e (2,8).

Passo 3

Precisamos ver qual curva está acima em cada subintervalo de [0,2]. Defina
h(x)=f(x)-g(x)=x^3 - (3x^2-2x)=x(x-1)(x-2).
Em 0<x<1, h(x)>0 então f(x)>g(x).
Em 1<x<2, h(x)<0 então g(x)>f(x).
O esboço qualitativo é: de x=0 a x=1 a cúbica está acima da parábola, e de x=1 a x=2 é o contrário.

Passo 4

A área total entre as curvas é
\text{Área} =\int_{0}^{1}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx +\int_{1}^{2}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx =\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx.Á
Uma primitiva de h(x)=x^3-3x^2+2x é
H(x)=\int h(x)\,dx =\frac{x^4}{4}-x^3+x^2.

Passo 5

Calcule cada integral:
\int_{0}^{1}h(x)\,dx =H(1)-H(0) =\Bigl(\tfrac14-1+1\Bigr)-0 =\tfrac14,
\int_{1}^{2}h(x)\,dx =H(2)-H(1) =\Bigl(4-8+4\Bigr)-\tfrac14 =0-\tfrac14 =-\tfrac14.
Logo
\text{Área} =\tfrac14 - (-\tfrac14) =\tfrac12.Á

Resposta

As curvas se cruzam em (0,0), (1,1) e (2,8).
A área da região limitada pelas duas curvas é \displaystyle \tfrac12.

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