Considere as funções
e
. Encontre os pontos onde
. Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
O conteúdo principal é “área entre duas curvas”: primeiro achamos as interseções, depois determinamos qual função está por cima em cada intervalo e, por fim, calculamos a integral da diferença.
O conteúdo principal é “área entre duas curvas”: primeiro achamos as interseções, depois determinamos qual função está por cima em cada intervalo e, por fim, calculamos a integral da diferença.
Passo 2
Para encontrar as abscissas de interseção resolvemos
Logo as interseções ocorrem em
,
e
. Substituindo em qualquer das duas funções, os pontos são
,
e
.
Passo 3
Precisamos ver qual curva está acima em cada subintervalo de
. Defina
Em
,
então
.
Em ,
então
.
O esboço qualitativo é: de a
a cúbica está acima da parábola, e de
a
é o contrário.
Em
O esboço qualitativo é: de
Passo 4
A área total entre as curvas é
Uma primitiva de
é
Passo 5
Calcule cada integral:
Logo
Resposta
As curvas se cruzam em
,
e
.
A área da região limitada pelas duas curvas é .
A área da região limitada pelas duas curvas é