Calcule a área da região limitada pelos gráficos de:
y=3-x^{2} e y=x+1

Passo 1

O enunciado pede a área da região entre as curvas
y = 3 - x^2
e
y = x + 1.
O conteúdo envolve:
  1. Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
  2. Determinar qual é a função superior no intervalo de interesse.
  3. Montar a integral definida da diferença entre elas.
  4. Calcular a integral para obter a área.

Passo 2

Para achar os pontos em que as curvas se cruzam, igualamos
3 - x^2 = x + 1.
Reordenhando,
x^2 + x - 2 = 0.
As raízes são
x = 1 \quad\text{e}\quad x = -2.

Passo 3

No intervalo de x=-2 até x=1, verifica-se que
3 - x^2 \ge x + 1,
pois em x=0 temos 3>1. Logo, a área A é
A = \int_{-2}^{1}\bigl[(3 - x^2) - (x + 1)\bigr]\;dx.

Passo 4

Primeiro simplificamos o integrando:
(3 - x^2) - (x + 1) = 2 - x - x^2.
Uma antiderivada é
\int(2 - x - x^2)\,dx = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}.
A área fica
A = \left[\,2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \Bigl(2\cdot1 - \tfrac{1^2}{2} - \tfrac{1^3}{3}\Bigr) - \Bigl(2\cdot(-2) - \tfrac{(-2)^2}{2} - \tfrac{(-2)^3}{3}\Bigr).
Calculando cada parte:
2 - \tfrac12 - \tfrac13 = \tfrac{7}{6}, \qquad -4 - 2 + \tfrac{8}{3} = -6 + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{10}{3}.
Assim
A = \tfrac{7}{6} - \bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr) = \tfrac{7}{6} + \tfrac{20}{6} = \tfrac{27}{6} = \tfrac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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