Sabendo que o ponto (2,5) pertence a uma curva de equação y=f(x) e que a declividade da reta tangente em cada ponto da mesma é dada por 2 x-3, encontre a equação da curva.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma curva y=f(x) cuja derivada (declividade da reta tangente) é
f'(x)=2x-3
e que ela passa pelo ponto (2,5). Para encontrar f(x), precisamos integrar f'(x) e depois ajustar a constante de integração usando a condição f(2)=5.

Passo 2

Integramos a derivada para obter a forma geral de f(x):
f(x)=\int (2x-3)\,dx = \int 2x\,dx - \int 3\,dx = x^2 - 3x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição de passagem pelo ponto (2,5). Isso significa que
f(2)=2^2 - 3\cdot 2 + C = 5.
Calculando,
4 - 6 + C = 5 \quad\Longrightarrow\quad C = 5 + 2 = 7.

Resposta

f(x)=x^2 - 3x + 7.

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