Calcule as seguintes integrais:
\int\left(x^{2}+1\right)^{50} \cdot 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(x^{2}+1\bigr)^{50}\cdot 2x\,dx.
O conteúdo aqui é reconhecer uma composição de função do tipo (g(x))^{n} junto com sua derivada na forma g'(x). Para resolver usamos o método de substituição de variáveis.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2}+1.
Dessa forma, a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \bigl(x^{2}+1\bigr)^{50}\cdot 2x\,dx =\int u^{50}\,du.
Agora é uma potência simples de u.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{50}\,du =\frac{u^{51}}{51}+C.
Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+1.

Resposta

\frac{(x^{2}+1)^{51}}{51}+C.

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