Calcule a área da região limitada pelas retas x=2 e x=6 e pelas curvas y=x^2-2 x e y=x. Resp. 563

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas retas x=2 e x=6 e pelas curvas
y = x^2 - 2x
e
y = x
O conteúdo é cálculo de área por integrais definidas, usando a diferença entre as funções que estão em cima e embaixo.

Passo 2

Primeiro, achamos onde as curvas se intersectam, resolvendo
x^2 - 2x = x
x^2 - 3x = 0
x(x - 3) = 0
logo as abscissas de interseção são x=0 e x=3. No intervalo de interesse [2,6] há portanto um cruzamento em x=3.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima em cada subintervalo:
  • Para 2 <= x <= 3: (x) - (x^2 - 2x) = 3x - x^2 = x(3 - x)>=0, logo y = x está acima de y = x^2 - 2x.
  • Para 3 <= x <= 6: (x^2 - 2x) - (x) = x^2 - 3x = x(x - 3)>=0, logo y = x^2 - 2x está acima de y = x.

Passo 4

A área total é a soma das áreas nos dois trechos:
Área = integral2^3l[x - (x^2 - 2x)r],dx + integral3^6l[(x^2 - 2x) - xr],dx Á

Passo 5

Calculemos a primeira integral:
integral2^3(3x - x^2),dx = l[tfrac32x^2 - tfrac13x^3r]2^3 = l( tfrac272 - 9 r) - l(6 - tfrac83r) = tfrac92 - tfrac103 = tfrac76

Passo 6

Agora a segunda integral:
integral3^6(x^2 - 3x),dx = l[tfrac13x^3 - tfrac32x^2r]3^6 = l(72 - 54r) - l(9 - 13,5r) = 18 - (-4,5) = tfrac452

Passo 7

Somando as duas partes:
Área = tfrac76 + tfrac452 = tfrac76 + tfrac1356 = tfrac1426 = tfrac713 Á

Resposta

713

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