Dados a função
, ímpar, e periódica de período 2, e que a sua série de Fourier é
determine:
O valor de
a partir da série dada.
O valor de
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
ímpar, de período
, cujo desenvolvimento em série de Fourier é
com
Queremos extrair, a partir desse desenvolvimento, o valor de
Para isso, vamos usar o teorema de Parseval para séries de Fourier.
Passo 2
O teorema de Parseval para funções de período
diz
No nosso caso,
e
é ímpar, logo todos os
e
são zero. Então
Passo 3
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos o lado esquerdo:
porque
é ímpar e, para
,
. Então
Multiplicando por 2,
Passo 5
Pela identidade de Parseval:
Isolando a série,