Dados a função f(x)=1-x, 0<x<1, ímpar, e periódica de período 2, e que a sua série de Fourier é
sumn=1^infty 2n pi sen(n pi x),
determine:
O valor de sumn=1^infty 1n^2 a partir da série dada.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f ímpar, de período 2, cujo desenvolvimento em série de Fourier é
f(x)=sumn=1^infty bnsin(npi x),
com
bn = 2npi
Queremos extrair, a partir desse desenvolvimento, o valor de
sumn=1^infty1n^2
Para isso, vamos usar o teorema de Parseval para séries de Fourier.

Passo 2

O teorema de Parseval para funções de período 2L diz
1Lintegral-L^L f(x)^2,dx = a0^2 + sumn=1^inftyl(an^2 + bn^2r)
No nosso caso, L=1 e f é ímpar, logo todos os an e a0 são zero. Então
11integral-1^1f(x)^2,dx =sumn=1^inftybn^2

Passo 3

Substituindo bn = tfrac2npi, obtemos
sumn=1^inftybn^2 =sumn=1^inftyl(2npir)^2 =4pi^2sumn=1^infty1n^2

Passo 4

Agora calculamos o lado esquerdo:
integral-1^1f(x)^2,dx =2integral0^1(1-x)^2,dx,
porque f é ímpar e, para 0<x<1, f(x)=1-x. Então
integral0^1(1-x)^2,dx =integral0^1(1 - 2x + x^2),dx =l[x - x^2 + tfracx^33r]0^1 =1 - 1 + tfrac13 =tfrac13
Multiplicando por 2,
integral-1^1f(x)^2,dx =2cdot tfrac13 =tfrac23

Passo 5

Pela identidade de Parseval:
integral-1^1f(x)^2,dx =sumn=1^inftybn^2 Longrightarrow tfrac23 =4pi^2sumn=1^infty1n^2
Isolando a série,
sumn=1^infty1n^2 =23cdotpi^24 =pi^26

Resposta

sumn=1^infty1n^2 =pi^26

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