Dados a função
, ímpar, e periódica de período 2, e que a sua série de Fourier é
determine:
Os pontos
onde a série acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.
Os pontos
Passo 1
O enunciado apresenta a função
definida em
, estendida de forma ímpar e periódica com período
. Sua série de Fourier é
Precisamos achar os pontos de convergência dessa série e o valor da soma nesses pontos. Para isso usaremos o teorema de Dirichlet para séries de Fourier e a descrição completa de
na reta.
Passo 2
Vamos reconstituir
para todo
a partir de
:
— Para , por hipótese,
— Para
— Como
é ímpar,
. Logo, para
,
— E como
é periódica de período
, vale
Passo 3
O teorema de Dirichlet diz que a série de Fourier de uma função periódica e de peça-lisa converge para
em cada ponto
. Em pontos de continuidade de
isso coincide com
; em pontos de descontinuidade, é a média dos limites laterais.
Passo 4
Identificamos os pontos de descontinuidade de
. Note que em
(e, por periodicidade, em
) há salto:
Nos demais pontos múltiplos de
(isto é,
ou
), verifica-se continuidade. Portanto os únicos saltos ocorrem em
Passo 5
Aplicando Dirichlet:
— Se
— Se , logo
Resposta
A série converge para todo
. Seu valor é