Dados a função f(x)=1-x, 0<x<1, ímpar, e periódica de período 2, e que a sua série de Fourier é
sumn=1^infty 2n pi sen(n pi x),
determine:
Os pontos x onde a série acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=1 - x definida em 0<x<1, estendida de forma ímpar e periódica com período 2. Sua série de Fourier é
sumn=1^infty 2npi,sin(npi x)
Precisamos achar os pontos de convergência dessa série e o valor da soma nesses pontos. Para isso usaremos o teorema de Dirichlet para séries de Fourier e a descrição completa de f(x) na reta.

Passo 2

Vamos reconstituir f(x) para todo xinR a partir de 0<x<1:
— Para xin(0,1), por hipótese,
f(x)=1 - x
— Como f é ímpar, f(-x)=-f(x). Logo, para xin(-1,0),
f(x)= -l(1 - (-x)r)=-(1+x)
— E como f é periódica de período 2, vale
f(x+2k)=f(x)para todo kinZ

Passo 3

O teorema de Dirichlet diz que a série de Fourier de uma função periódica e de peça-lisa converge para
f(x^+)+f(x^-)2
em cada ponto x. Em pontos de continuidade de f isso coincide com f(x); em pontos de descontinuidade, é a média dos limites laterais.

Passo 4

Identificamos os pontos de descontinuidade de f. Note que em x=0 (e, por periodicidade, em x=2k) há salto:
f(0^-)=limxto0^--(1+x)=-1, f(0^+)=limxto0^+(1-x)=1
Nos demais pontos múltiplos de 1 (isto é, x=1+2k ou x=-1+2k), verifica-se continuidade. Portanto os únicos saltos ocorrem em
x=2k, kinZ

Passo 5

Aplicando Dirichlet:
— Se
— Se , logo

Resposta

A série converge para todo xinR. Seu valor é
S(x)= 1 - x, & xin(0,1)+2Z, -(1 + x), & xin(-1,0)+2Z, 0, & x=2k,;kinZ

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