Sejam x, y \in \mathbb{R} dois números satisfazendo 0<x<y. Determine o valor de x que resolve a equação
\log _{2}\left(\frac{x^{4}}{y^{2}-x^{2}}\right)+\log _{2}\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}-1\right)=-3

Passo 1

O enunciado pede para achar x>0 (com x<y) que satisfaz
\log_{2}\!\Bigl(\frac{x^{4}}{y^{2}-x^{2}}\Bigr)+\log_{2}\!\Bigl(\frac{y^{2}}{x^{2}}-1\Bigr)=-3.
Aqui vamos usar a propriedade de soma de logaritmos: \log_{2}(A)+\log_{2}(B)=\log_{2}(A\cdot B).

Passo 2

Aplicando a soma de logaritmos, definimos
A = \frac{x^{4}}{y^{2}-x^{2}} \quad\text{e}\quad B = \frac{y^{2}}{x^{2}}-1 = \frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}}.
Então a soma torna-se
\log_{2}(A)+\log_{2}(B) =\log_{2}\bigl(A\cdot B\bigr).

Passo 3

Calculemos o produto A\cdot B:
A\cdot B = \frac{x^{4}}{y^{2}-x^{2}}\;\cdot\;\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}.
Logo a equação original vira
\log_{2}\bigl(x^{2}\bigr) = -3.

Passo 4

Para resolver \log_{2}(x^{2})=-3, passamos para a forma exponencial:
x^{2} = 2^{-3} = \tfrac{1}{8}.

Passo 5

Como x>0, tomamos a raiz positiva:
x = \sqrt{\tfrac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}.
Note que essa escolha satisfaz 0<x<y desde que y>x, e garante y^{2}-x^{2}>0.

Resposta

x = \frac{1}{2\sqrt{2}}.

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