Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x=4-y^2 e x+2 y-4=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
x = 4 - y^2
e
x + 2y - 4 = 0,
ou seja, pela parábola que abre para a esquerda e pela reta x = 4 - 2y. O conteúdo é cálculo de área de região plana por integração simples.

Passo 2

Precisamos dos pontos de interseção para determinar os limites de integração em y. Igualando as expressões de x:
4 - y^2 = 4 - 2y
-y^2 + 2y = 0
y(y - 2) = 0
Logo, y=0 ou y=2.

Passo 3

Para 0 <= y <= 2, comparamos os valores de x:
xparábola = 4 - y^2, xreta = 4 - 2y á
Como
(4 - y^2) - (4 - 2y) = -y^2 + 2y = y(2-y)>=0
em 0<= y<=2, a parábola fica sempre à direita da reta. Assim, a largura horizontal é
De<a x = (4 - y^2) - (4 - 2y) = -y^2 + 2y

Passo 4

A área pedida é
integraly=0^2 l[(4 - y^2) - (4 - 2y)r],dy = integral0^2 (-y^2 + 2y),dy

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^2 (-y^2 + 2y),dy = [-y^33 + y^2]0^2 = l(-tfrac83 + 4r) - 0 = 12 - 83 = 43

Resposta

A área da região é 43

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