Calcule o volume do sólido limitado:
(c) pelos parabolóides z=9 x^2+y^2 e z=18-9 x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos paraboloides
z = 9x^2 + y^2
e
z = 18 - 9x^2 - y^2
O método é usar integração dupla sobre a projeção no plano xy, calculando
V = integral duplaE l(ztop - zbotr),dA

Passo 2

Para achar a região de projeção E, igualamos os dois paraboloides:
9x^2 + y^2 = 18 - 9x^2 - y^2 Longrightarrow 18x^2 + 2y^2 = 18 Longrightarrow 9x^2 + y^2 = 9
Logo,
E = (x,y)mid 9x^2 + y^2 <= 9

Passo 3

O volume é
V = integral duplaE l[(18 - 9x^2 - y^2) - (9x^2 + y^2)r],dA = integral duplaE l(18 - 18x^2 - 2y^2r),dA

Passo 4

Usamos coordenadas elípticas:
x = rcostheta, y = 3rsintheta,
com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. O Jacobiano é
dA = 3r,dr,dtheta
Substituindo na integranda:
18 - 18x^2 - 2y^2 = 18 - 18r^2cos^2theta - 2,(9r^2sin^2theta) = 18,(1 - r^2)

Passo 5

Calculamos
V = integral0^2pi!integral0^1 18(1 - r^2),(3r),dr,dtheta = 54integral0^2pi!dtheta integral0^1!(r - r^3),dr
No radial:
integral0^1(r - r^3),dr = l[tfracr^22 - tfracr^44r]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14
Então
V = 54 cdot 2pi cdot tfrac14 = 27pi

Resposta

27pi

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