Calcule a área da região limitada superiormente pela parábola y=6-x-x^2 e inferlormente pelo eixo x. Faça um desenho da região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área de uma região que está acima da parábola $ y = 6 - x - x^{2} $ e abaixo do eixo $ x $ (aquele eixo horizontal). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral. Vamos precisar identificar onde a parábola cruza o eixo $ x $ para determinar os limites de integração e, em seguida, calcular a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola corta o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
x
Vamos rearranjar os termos:
y = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
6 - x - x^2 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -6 $. Substituindo:
x^2 + x - 6 = 0
Então, temos duas soluções:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto, a parábola corta o eixo $ x $ nos pontos $ x = -3 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde a parábola cruza o eixo $ x $, vamos desenhar a região que queremos calcular. A parábola $ y = 6 - x - x^{2} $ está “voltada para baixo” porque o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo. A área que queremos é a região entre $ x = -3 $ e $ x = 2 $, acima do eixo $ x $ e abaixo da parábola.

Passo 4

Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a função $ y = 6 - x - x^{2} $ em relação a $ x $ de $ x = -3 $ a $ x = 2 $. A fórmula da área $ A $ será:
y = 6 - x - x^2

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de $ 6 - x - x^{2} $:
6 - x - x^2
Onde $ C $ é a constante de integração, que não é necessária para calcular a área definida.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração de $ -3 $ a $ 2 $:
-3
Primeiro, calculamos para $ x = 2 $:
2
Depois, para $ x = -3 $:
A = [6x - 12x^2 - 13x^3]-3^2

Passo 7

Agora, vamos subtrair os valores obtidos:
A = 223 - (-272) = 223 + 272 = 446 + 816 = 1256

Resposta

A área da região delimitada pela parábola $ y = 6 - x - x^{2} $ e pelo eixo $ x $ é $ \frac{125}{6} $ unidades de área.

Exercícios relacionados