Calcule a área da região limitada superiormente pela parábola
e inferlormente pelo eixo
. Faça um desenho da região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área de uma região que está acima da parábola $ y = 6 - x - x^{2} $ e abaixo do eixo $ x $ (aquele eixo horizontal). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral. Vamos precisar identificar onde a parábola cruza o eixo $ x $ para determinar os limites de integração e, em seguida, calcular a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola corta o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
Vamos rearranjar os termos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -6 $. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, a parábola corta o eixo $ x $ nos pontos $ x = -3 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde a parábola cruza o eixo $ x $, vamos desenhar a região que queremos calcular. A parábola $ y = 6 - x - x^{2} $ está “voltada para baixo” porque o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo. A área que queremos é a região entre $ x = -3 $ e $ x = 2 $, acima do eixo $ x $ e abaixo da parábola.
Passo 4
Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a função $ y = 6 - x - x^{2} $ em relação a $ x $ de $ x = -3 $ a $ x = 2 $. A fórmula da área $ A $ será:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de $ 6 - x - x^{2} $:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não é necessária para calcular a área definida.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração de $ -3 $ a $ 2 $:
Primeiro, calculamos para $ x = 2 $:
Depois, para $ x = -3 $:
Passo 7
Agora, vamos subtrair os valores obtidos:
Resposta
A área da região delimitada pela parábola $ y = 6 - x - x^{2} $ e pelo eixo $ x $ é $ \frac{125}{6} $ unidades de área.