Considere uma estrada com inclinação lateral fazendo um ângulo beta com a horizontal. A estrada está fazendo uma curva com raio R. Um carro de massa m está entrando nessa curva, e o coeficiente de atrito estático entre os pneus do carro e a estrada é mus. Calcule em função de m, g, R, mus e beta :
(Desenhe um diagrama de corpo livre para o carro em cada uma das situações abaixo.)
Qual a situação limite para que o carro nunca desliza para baixo no plano inclinado quando faz a curva? E qual a situação limite para que o carro nunca deslize para cima no plano inclinado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma estrada que faz uma curva inclinada com um ângulo em relação à horizontal e com raio . Um carro de massa está entrando nessa curva, e há um coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as condições limites para que o carro não deslize para baixo ou para cima no plano inclinado enquanto faz a curva. Para isso, vamos precisar entender as forças envolvidas nessa situação, usar conceitos de estática e dinâmica, e aplicar um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do carro. Imaginem o carro numa estrada inclinada:
  • Peso ( ): A força da gravidade puxa o carro para baixo.
  • Força Normal ( ): A estrada empurra o carro perpendicularmente à superfície.
  • Força de Atrito ( ): Prevê o deslizamento, age paralelamente à estrada.
  • Força Centrífuga ( ): Devido à curva, empurra o carro para fora da curva.

Passo 3

Vamos decompor as forças para facilitar. Considerando o ângulo :
  • O peso pode ser dividido em duas componentes:
    • Paralela à estrada:
    • Perpendicular à estrada:
  • A força centrífuga também tem componentes:
    • Paralela à estrada:
    • Perpendicular à estrada:
Onde é a velocidade do carro.

Passo 4

Para que o carro não deslize, a força de atrito deve ser suficiente para equilibrar as outras forças que querem fazê-lo deslizar para baixo ou para cima. A força máxima de atrito estático é mg sinbeta - m v^2R cosbeta <= mus N á.
Vamos considerar as duas situações limites:
  1. Não deslizar para baixo:
    • As forças que querem puxar o carro para baixo são m v^2R cosbeta - mg sinbeta <= mus N .
    • As forças que ajudam a manter o carro no lugar são a componente da força centrífuga que age contra o deslizamento: .
    • Então, a condição para não deslizar para baixo é:
  2. Não deslizar para cima:
    • As forças que querem puxar o carro para cima são .
    • As forças que ajudam a manter o carro no lugar são .
    • Então, a condi��ão para não deslizar para cima é:

Passo 5

A força normal N = mg cosbeta + m v^2R sinbeta é a soma das componentes perpendiculares das forças envolvidas:

Passo 6

Agora, substituímos mg sinbeta - m v^2R cosbeta <= mus ( mg cosbeta + m v^2R sinbeta ) nas desigualdades das condições limites:
  1. Não deslizar para baixo:
    m v^2R cosbeta - mg sinbeta <= mus ( mg cosbeta + m v^2R sinbeta )
  2. Não deslizar para cima:

Passo 7

Podemos simplificar as equações dividindo todos os termos por g sinbeta - v^2R cosbeta <= mus ( g cosbeta + v^2R sinbeta ) :
  1. Não deslizar para baixo:
    v^2R cosbeta - g sinbeta <= mus ( g cosbeta + v^2R sinbeta )
  2. Não deslizar para cima:

Passo 8

Essas desigualdades representam as condições limites em que o atrito estático é exatamente o suficiente para impedir que o carro deslize para baixo ou para cima. Dependendo da velocidade , inclinação , raio da curva , e coeficiente de atrito , podemos determinar se essas condições são atendidas.

Resposta

As situações limites para que o carro nunca deslize são dadas pelas seguintes condições:
  1. Para não deslizar para baixo:
    g sinbeta - v^2R cosbeta <= mus ( g cosbeta + v^2R sinbeta )
  2. Para não deslizar para cima:
    v^2R cosbeta - g sinbeta <= mus ( g cosbeta + v^2R sinbeta )
Essas expressões relacionam a massa do carro , a aceleração da gravidade , o raio da curva , o coeficiente de atrito estático , e o ângulo de inclinação , definindo as condições necessárias para evitar que o carro deslize para qualquer direção enquanto faz a curva.

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