Considere uma estrada com inclinação lateral fazendo um ângulo
com a horizontal. A estrada está fazendo uma curva com raio
. Um carro de massa
está entrando nessa curva, e o coeficiente de atrito estático entre os pneus do carro e a estrada é
. Calcule em função de
,
e
:
(Desenhe um diagrama de corpo livre para o carro em cada uma das situações abaixo.)
a velocidade máxima para que o carro não deslize subindo o plano inclinado.
(Desenhe um diagrama de corpo livre para o carro em cada uma das situações abaixo.)
a velocidade máxima para que o carro não deslize subindo o plano inclinado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um carro de massa $ m $ que está entrando numa curva de raio $ R $ em uma estrada inclinada lateralmente com um ângulo $ \beta $. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada é $ \mu_s $. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade máxima que o carro pode ter para não deslizar para cima do plano inclinado. Para isso, vamos precisar entender as forças envolvidas nessa situação e usar um pouquinho de física de forças centrípetas e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no carro enquanto ele faz a curva. Temos:
- Peso ($ P $): A força da gravidade que puxa o carro para baixo, igual a $ P = m \cdot g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
- Normal ($ N $): A força perpendicular à superfície da estrada que impede o carro de atravessar a estrada.
- Atrito ($ f $): A força que impede o carro de deslizar, que neste caso vai agir para baixo do plano inclinado para equilibrar as forças.
- Força centrípeta ($ F_c $): A força necessária para manter o carro na curva, que depende da velocidade do carro e do raio da curva.
Passo 3
Como a estrada está inclinada pelo ângulo $ \beta $, precisamos decompor as forças nas direções paralela e perpendicular ao plano inclinado.
-
Na direção perpendicular ao plano inclinado:
- A normal ($ N $) é equilibrada pelo componente do peso perpendicular: $ N = P \cdot \cos(\beta) = m \cdot g \cdot \cos(\beta) $.
-
Na direção paralela ao plano inclinado:
- A força de atrito ($ f $) deve equilibrar a tendência do carro de deslizar para cima devido à força centrípeta.
- A força centrípeta é dada por $ F_c = \frac{m \cdot v^2}{R} $, onde $ v $ é a velocidade.
- O componente do peso paralelo ao plano é $ P_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\beta) $.
Passo 4
A força de atrito máximo que pode agir para evitar o deslizamento é $ f_{máx} = \mu_s \cdot N = \mu_s \cdot m \cdot g \cdot \cos(\beta) $.
Para que o carro não deslize para cima, a força centrípeta não pode exceder a soma da força de atrito máximo e do componente paralelo do peso:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão dividindo todos os termos por $ m $ (já que $ m \neq 0 $):
Multiplicando ambos os lados por $ R $:
Passo 6
Agora, para encontrar a velocidade máxima $ v_{máx} $, basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Podemos fatorar o $ g $ dentro da raiz para simplificar:
Resposta
A velocidade máxima para que o carro não deslize subindo o plano inclinado é: