Calcule a área da região plana
abaixo.
é a região exterior ao disco
, e interior ao disco
.
Passo 1
O enunciado pede a área de
.
Em outras palavras, é a parte do disco de raio 1 centrado em que fica fora do disco de raio 1 centrado em
.
Para resolver, vamos usar geometria de círculos: primeiro calculamos a área de interseção (o “lens”) dos dois discos e depois subtraímos essa interseção da área total do segundo disco.
Em outras palavras, é a parte do disco de raio 1 centrado em
Para resolver, vamos usar geometria de círculos: primeiro calculamos a área de interseção (o “lens”) dos dois discos e depois subtraímos essa interseção da área total do segundo disco.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das duas fronteiras:
Subtraindo a primeira da segunda dá
Substituindo em
achamos
Logo a linha de interseção é
com
e corta cada círculo gerando um segmento circular de altura
Passo 3
Calcular a área da lente (interseção dos dois discos) como soma de dois segmentos circulares de raio
e altura
. A área de um segmento vale
Aqui
e
. Então
Como a lente é a soma de dois desses segmentos,
Passo 4
A área total do disco de raio 1 centrado em
é
Passo 5
A área procurada é a parte do segundo disco que fica fora do primeiro, ou seja