Calcule a área da região plana R abaixo.
R é a região exterior ao disco x^2+y^2 <= 1, e interior ao disco (x-1)^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a área de
R=(x,y)mid (x-1)^2+y^2<=1,;x^2+y^2>=1.
Em outras palavras, é a parte do disco de raio 1 centrado em (1,0) que fica fora do disco de raio 1 centrado em (0,0).
Para resolver, vamos usar geometria de círculos: primeiro calculamos a área de interseção (o “lens”) dos dois discos e depois subtraímos essa interseção da área total do segundo disco.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das duas fronteiras:
x^2+y^2=1, (x-1)^2+y^2=1
Subtraindo a primeira da segunda dá
(x-1)^2 - x^2 = 0 ;implies;1 - 2x = 0 ;implies;x=tfrac12
Substituindo em x^2+y^2=1 achamos
y^2 = 1 - l(tfrac12r)^2 = tfrac34 ;implies;y=pmtfracraiz32
Logo a linha de interseção é x=tfrac12 com y=pmtfracraiz32 e corta cada círculo gerando um segmento circular de altura
h = r - xcorda = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 3

Calcular a área da lente (interseção dos dois discos) como soma de dois segmentos circulares de raio r=1 e altura h=tfrac12. A área de um segmento vale
Aseg = r^2arccos!l(tfracr-hrr) ;-;(r-h)raiz2rh - h^2
Aqui tfracr-hr=tfrac12 e 2rh-h^2 = 2cdot1cdottfrac12 - tfrac14 = tfrac34. Então
Aseg = arccos!l(tfrac12r) ;-;tfrac12raiztfrac34 = tfracpi3 ;-;tfrac12cdottfracraiz32 = tfracpi3 - tfracraiz34
Como a lente é a soma de dois desses segmentos,
A<=nte = 2l(tfracpi3 - tfracraiz34r) = tfrac2pi3 - tfracraiz32

Passo 4

A área total do disco de raio 1 centrado em (1,0) é
Adisco = picdot1^2 = pi

Passo 5

A área procurada é a parte do segundo disco que fica fora do primeiro, ou seja
A(R) = Adisco - A<=nte = pi - l(tfrac2pi3 - tfracraiz32r) = tfracpi3 + tfracraiz32

Resposta

boxed,pi3 ;+;raiz32,

Exercícios relacionados