Expresse o volume do sólido S limitado inferiormente pelo plano
, e superiormente pela esfera
, como uma integral tripla iterada, utilizando:
Coordenadas esfricas
.
Coordenadas esfricas
Passo 1
O enunciado pede para expressar o volume do sólido S, limitado inferiormente pelo plano
e superiormente pela esfera
, como uma integral tripla em coordenadas esféricas
. Vamos usar a definição de coordenadas esféricas e o elemento de volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
,
,
e o elemento de volume
. O sólido S está entre a esfera
e o plano
.
Passo 3
Para encontrar o intervalo de
, note que na interseção da esfera e do plano vale
e
, ou seja
. Acima do plano temos
, logo
.
Passo 4
Para cada
em
,
varia do plano até a esfera, isto é
Passo 5
Finalmente,
percorre
. Assim o volume fica dado por