Expresse o volume do sólido S limitado inferiormente pelo plano z=12, e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1, como uma integral tripla iterada, utilizando:
Coordenadas esfricas rho theta varphi.

Passo 1

O enunciado pede para expressar o volume do sólido S, limitado inferiormente pelo plano z=tfrac12 e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1, como uma integral tripla em coordenadas esféricas (rho,theta,varphi). Vamos usar a definição de coordenadas esféricas e o elemento de volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi e o elemento de volume dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta. O sólido S está entre a esfera rho=1 e o plano rhocosvarphi=tfrac12.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de varphi, note que na interseção da esfera e do plano vale rho=1 e cosvarphi=tfrac12, ou seja varphi=arccos(tfrac12)=tfracpi3. Acima do plano temos z>=tfrac12, logo 0<=varphi<=tfracpi3.

Passo 4

Para cada varphi em [0,tfracpi3], rho varia do plano até a esfera, isto é
rhomin=12cosvarphi, rhomax=1

Passo 5

Finalmente, theta percorre [0,2pi]. Assim o volume fica dado por

Resposta

V=integraltheta=0^2pi!integralvarphi=0^pi/3!integralrho=tfrac12cosvarphi^1 rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

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