Expresse o volume do sólido S limitado inferiormente pelo plano z=12, e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1, como uma integral tripla iterada, utilizando:
Coordenadas cilindricas r theta z

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado inferiormente pelo plano z=tfrac12 e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1, expresso como integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas (r,theta,z). Vamos precisar:
– descrever S em termos de r,theta,z,
– determinar os limites de r e theta a partir da projeção de S no plano xy,
– escrever a integral de r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Para cada direção (r,theta), z varia entre o plano inferior z=tfrac12 e a parte superior da esfera, que em coordenadas cilíndricas é
z=raiz1-r^2,
A região projetada no plano xy satisfaz
tfrac12<= raiz1-r^2 Longrightarrow r^2<= 1-tfrac14 Longrightarrow 0<= r<= raiz32
Como não há restrição em theta, ele varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Montamos então a integral tripla iterada, lembrando que o elemento de volume em cilíndricas é r,dz,dr,dtheta:
integraltheta=0^2pi integralr=0^raiz32 integralz=tfrac12^raiz1-r^2 r ;dz,dr,dtheta

Resposta

V ;=; integral0^2pi integral0^raiz32 integraltfrac12^raiz1-r^2 r ;dz,dr,dtheta

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