Calcule a área da região plana limitada pelas curvas e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas e .
O conteúdo é cálculo de área por mudança de variáveis em integrais duplas, usando um mapeamento que transforme essas fronteiras em retângulo no novo plano.
Passo 2
Para simplificar as fronteiras, escolhemos
Nesse caso as curvas e viram e , e as retas e viram e .
Passo 3
No plano , a região corresponde ao retângulo
Passo 4
Calculamos o jacobiano .
Como
temos
logo
Assim
Como v=y/x e u=x^2y dão x=(u/v)^1/3 e y=u^1/3v^2/3, obtemos
dx,dy = du,dv3,u^1/3v^2/3
Passo 5
A área de R é
integral duplaRdx,dy = integralv=1^2integralu=2^313,u^1/3v^2/3,du,dv