Calcule a área da região plana R limitada pelas curvas x^2 y=2, x^2 y=3, y=x e y=2 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
,x^2y=2, x^2y=3, y=x e y=2x.
O conteúdo é cálculo de área por mudança de variáveis em integrais duplas, usando um mapeamento que transforme essas fronteiras em retângulo no novo plano.

Passo 2

Para simplificar as fronteiras, escolhemos
u = x^2y, v = yx
Nesse caso as curvas x^2y=2 e x^2y=3 viram u=2 e u=3, e as retas y=x e y=2x viram v=1 e v=2.

Passo 3

No plano (u,v), a região corresponde ao retângulo
2 <= u <= 3, 1 <= v <= 2

Passo 4

Calculamos o jacobiano J=partial(u,v)partial(x,y).
Como
u = x^2y, v = y/x,
temos
partial upartial x = 2xy, partial upartial y = x^2, partial vpartial x = -yx^2, partial vpartial y = 1x,
logo
detpartial(u,v)partial(x,y) = (2xy)l(1xr) - l(x^2r)l(-yx^2r) =2y + y = 3y
Assim
dx,dy = l|detpartial(x,y)partial(u,v)r|;du,dv = du,dv3y
Como v=y/x e u=x^2y dão x=(u/v)^1/3 e y=u^1/3v^2/3, obtemos
dx,dy = du,dv3,u^1/3v^2/3

Passo 5

A área de R é
integral duplaRdx,dy = integralv=1^2integralu=2^313,u^1/3v^2/3,du,dv
Integramos primeiro em u:
integral2^3u^-1/3,du = l[u^2/32/3r]2^3 = 32l(3^2/3-2^2/3r)
Fica
integral1^213,v^2/3 cdot32l(3^2/3-2^2/3r),dv = 12l(3^2/3-2^2/3r) integral1^2v^-2/3,dv
E
integral1^2v^-2/3,dv = l[3,v^1/3r]1^2 =3l(2^1/3-1r)
Portanto a área é
12l(3^2/3-2^2/3r)cdot 3l(2^1/3-1r) = 32,(3^2/3-2^2/3),(2^1/3-1)

Resposta

Área(R) = 32,l(3^2/3-2^2/3r),l(2^1/3-1r) Á

Exercícios relacionados