(2 pontos) Determine a equação do plano tangente a superfície descrita por z=x^2+ y^2+x y+2, no ponto P(1,-1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = x^2 + y^2 + x y + 2
e pede o plano tangente em P(1,-1). Para encontrar esse plano usamos derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y^2+xy+2 e a fórmula
z - z0 = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = partialpartial xl(x^2+y^2+xy+2r) = 2x + y,
fy(x,y) = partialpartial yl(x^2+y^2+xy+2r) = 2y + x

Passo 3

Avalie em (x0,y0)=(1,-1):
fx(1,-1) = 2cdot1 + (-1) = 1,
fy(1,-1) = 2cdot(-1) + 1 = -1
O ponto sobre a superfície é
z0 = f(1,-1) = 1^2 + (-1)^2 + 1cdot(-1) + 2 = 3

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - 3 = 1cdot(x - 1) + (-1)cdotl(y -(-1)r)

Passo 5

Simplificando:
z - 3 = x - 1 - (y + 1) = x - y - 2
Rightarrow z = x - y + 1

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedz = x - y + 1

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