No cálculo da integral dupla de uma função
sobre uma região
foi obtida uma soma de integrais iteradas como a que se segue
Expresse a integral dupla de
sobre
como uma única integral iterada com a ordem de integração contrária.
Expresse a integral dupla de
Passo 1
O enunciado mostra uma integral dupla
e pede pra gente trocar a ordem de integração (fazendo
em vez de
). O conteúdo aqui é “integrais duplas e troca de ordem”. Para isso a gente vai precisar:
- entender a forma da região
no plano ; - projetar
no eixo pra achar o intervalo de ; - para cada
, achar o menor e o maior .
Passo 2
Primeiro, descrevemos
em desigualdades:
- De
: e . - De
: e .
Então, em que
e
Para inverter a ordem a gente projeta
no eixo
. Note:
-
equivale a . -
equivale a .
Passo 3
-
Qual o intervalo de
? - Em
, vai de até . - Em
, vai de até .
Logo.
- Em
-
Para cada
, o percorre: - Em
: e ⇒ . - Em
: e ⇒ .
Unindo os dois trechos (eles se encontram em), dá .
- Em