No cálculo da integral dupla de uma função f sobre uma região D foi obtida uma soma de integrais iteradas como a que se segue
integral duplaD f(x, y) d A=integral0^1 integral0^x^3 f(x, y) d y d x+integral1^e integralln x^1 f(x, y) d y d x
Expresse a integral dupla de f sobre D como uma única integral iterada com a ordem de integração contrária.

Passo 1

O enunciado mostra uma integral dupla
integral duplaD f(x,y),dA = integral0^1!integral0^x^3f(x,y),dy,dx ;+; integral1^e!integralln x^1f(x,y),dy,dx
e pede pra gente trocar a ordem de integração (fazendo dx,dy em vez de dy,dx). O conteúdo aqui é “integrais duplas e troca de ordem”. Para isso a gente vai precisar:
  1. entender a forma da região D no plano xy;
  2. projetar D no eixo y pra achar o intervalo de y;
  3. para cada y, achar o menor e o maior x.

Passo 2

Primeiro, descrevemos D em desigualdades:
  • De integral0^1!integral0^x^3: 0<= x<=1 e 0<= y<= x^3.
  • De integral1^e!integralln x^1: 1<= x<= e e ln x<= y<=1.
    Então D=R1cup R2, em que
    R1=(x,y):0<= x<=1,;0<= y<= x^3 e
    R2=(x,y):1<= x<= e,;ln x<= y<=1
Para inverter a ordem a gente projeta D no eixo y. Note:
  • ln x<= y equivale a x<= e^y.
  • y<= x^3 equivale a x>= y^1/3.

Passo 3

  1. Qual o intervalo de y?
    • Em R1, y vai de 0 até 1^3=1.
    • Em R2, ln x vai de ln1=0 até ln e=1.
      Logo yin[0,1].
  2. Para cada yin[0,1], o x percorre:
    • Em R1: y<= x^3 e x<=1 xin[y^1/3,,1].
    • Em R2: ln x<= y e x>=1 xin[1,,e^y].
      Unindo os dois trechos (eles se encontram em x=1), dá xin[y^1/3,,e^y].

Resposta

integral duplaD f(x,y),dA ;=; integral0^1 integraly^1/3^e^y f(x,y),dx,dy

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