(0,5) Calcule, se existir, \lim _{z \rightarrow 0} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}-i \frac{y^{2}}{x^{2}}, ou prove que o limite não existe.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o comportamento, quando z\to0, da função complexa
f(z)=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}-i\,\frac{y^{2}}{x^{2}},
onde escrevemos z=x+iy. O conteúdo aqui é mostrar que o limite depende do caminho de chegada a (0,0) em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Separamos parte real e parte imaginária de f. Chamando
u(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}, \quad v(x,y)=-\frac{y^{2}}{x^{2}},
temos f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y). Para existir \lim_{z\to0}f(z), é preciso que u(x,y) e v(x,y) tendam a valores únicos independentes do caminho.

Passo 3

Escolhemos o caminho retilíneo y=m\,x com m\in\mathbb{R}. Então x\to0 implica y\to0, e
u(x,mx) =\frac{2x\,(m x)}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{2m\,x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{2m}{1+m^{2}},
v(x,mx) =-\frac{(m x)^{2}}{x^{2}} =-m^{2}.
Logo, ao longo de y=mx,
f(z)\;\longrightarrow\;\frac{2m}{1+m^{2}}-i\,m^{2}.

Passo 4

Como o valor \frac{2m}{1+m^{2}}-i\,m^{2} varia com m, caminhos diferentes ( m distintos) fornecem limites distintos. Por exemplo, para m=0 obtemos 0, e para m=1 obtemos 1-i. Isso mostra que o limite não é único.

Resposta

O limite \lim_{z\to0} \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y^{2}}{x^{2}} não existe.

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