Calcule, se existir,
, ou prove que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o comportamento, quando
, da função complexa
onde escrevemos
. O conteúdo aqui é mostrar que o limite depende do caminho de chegada a
em
.
Passo 2
Separamos parte real e parte imaginária de
. Chamando
temos
. Para existir
, é preciso que
e
tendam a valores únicos independentes do caminho.
Passo 3
Escolhemos o caminho retilíneo
com
. Então
implica
, e
Logo, ao longo de
,
Passo 4
Como o valor
varia com
, caminhos diferentes (
distintos) fornecem limites distintos. Por exemplo, para
obtemos
, e para
obtemos
. Isso mostra que o limite não é único.
Resposta
O limite
não existe.