Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
r=1+\cos (\theta) e r=1;

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que satisfaz simultaneamente
r \le 1+\cos(\theta)
e r \le 1. O conteúdo aqui é a fórmula de área em coordenadas polares, que diz
A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl(r_{\max}(\theta)\bigr)^2\,d\theta,
onde r_{\max}(\theta) é o valor máximo de r permitido em cada direção \theta.

Passo 2

Para cada \theta, a região é 0 \le r \le \min\{1,\,1+\cos\theta\}. Primeiro achamos onde as duas curvas se intersectam, ou seja,
1 = 1 + \cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}.
Em \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr] temos \cos\theta\ge0, logo 1+\cos\theta\ge1 e assim \min\{1,1+\cos\theta\}=1.
Em \theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr] temos \cos\theta\le0, logo 1+\cos\theta\le1 e assim \min\{1,1+\cos\theta\}=1+\cos\theta.

Passo 3

Logo a área é a soma de duas integrais:
A =\frac12\Biggl[\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1^2\,d\theta +\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\bigl(1+\cos\theta\bigr)^2\,d\theta\Biggr].

Passo 4

Calculemos a primeira integral:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,d\theta =\Bigl[\theta\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} =\pi.

Passo 5

Para a segunda, expandimos (1+\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta e usamos \cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\!(1+\cos\theta)^2\,d\theta =\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\Bigl(1+2\cos\theta+\tfrac{1+\cos2\theta}{2}\Bigr)d\theta.
Isto dá
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\!1\,d\theta = \bigl[\theta\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} = \pi,
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\!2\cos\theta\,d\theta = 2\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} = 2(-1-1) = -4,
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\!\tfrac{\cos2\theta}{2}\,d\theta = \tfrac12\bigl[\tfrac{\sin2\theta}{2}\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} = \tfrac14\,(0-0)=0.
Somando:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(1+\cos\theta)^2\,d\theta = \pi + (-4) + \tfrac12\pi = \tfrac{3\pi}{2}-4.

Passo 6

Substituindo em A:
A =\frac12\Bigl[\pi +\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-4\bigr)\Bigr] =\frac12\Bigl(\frac{5\pi}{2}-4\Bigr) =\frac{5\pi}{4}-2.

Resposta

\boxed{A = \frac{5\pi}{4}-2.}

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