Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que satisfaz simultaneamente
e
O conteúdo aqui é a fórmula de área em coordenadas polares, que diz
onde
é o valor máximo de
permitido em cada direção
.
Passo 2
Para cada
, a região é
. Primeiro achamos onde as duas curvas se intersectam, ou seja,
Em
temos
, logo
e assim
.
Em temos
, logo
e assim
.
Em
Passo 3
Logo a área é a soma de duas integrais:
Passo 4
Calculemos a primeira integral:
Passo 5
Para a segunda, expandimos
e usamos
:
Isto dá
Somando:
Passo 6
Substituindo em
: