Calcule a integral de:
\int\left(4 \csc x \cot x+2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(4\csc x\cot x + 2\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx.
O conteúdo é primitiva de funções trigonométricas; vamos usar as derivadas conhecidas de \csc x e \tan x.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes:
\int\bigl(4\csc x\cot x + 2\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx =\int 4\csc x\cot x\,dx \;+\;\int 2\operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 3

Sabendo que
\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x,
temos
\csc x\cot x\,dx=-d(\csc x),
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\int 4\csc x\cot x\,dx =4\int\csc x\cot x\,dx =4\bigl(-\csc x\bigr) =-4\csc x.

Passo 4

Sabendo que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x,
segue
\int 2\operatorname{sec}^2 x\,dx =2\int\operatorname{sec}^2 x\,dx =2\tan x.

Passo 5

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
-4\csc x + 2\tan x + C.

Resposta

-4\csc x + 2\tan x + C

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