Calcule a integral de:
\int\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da soma de duas potências de x, ou seja
\int\Bigl(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração usando a regra da potência.

Passo 2

Primeiro reescrevemos em potências de x:
\sqrt[3]{x}=x^{1/3}, \quad \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}.
Logo a integral vira
\int\bigl(x^{1/3}+x^{-1/3}\bigr)\,dx,
e podemos usar a linearidade:
\int x^{1/3}\,dx \;+\;\int x^{-1/3}\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência para n\neq -1:
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Para o primeiro termo, n=1/3:
\int x^{1/3}\,dx =\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} =\frac{x^{4/3}}{4/3} =\frac{3}{4}\,x^{4/3}.
Para o segundo termo, n=-1/3:
\int x^{-1/3}\,dx =\frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1} =\frac{x^{2/3}}{2/3} =\frac{3}{2}\,x^{2/3}.

Passo 4

Somando as duas parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\Bigl(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)\,dx =\frac{3}{4}\,x^{4/3}+\frac{3}{2}\,x^{2/3}+C.

Resposta

\frac{3}{4}\,x^{4/3}+\frac{3}{2}\,x^{2/3}+C.

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